¿Estado de la conjetura de la cáscara esférica global para superficies complejas mínimas?

Question

Una superficie de clase VII es una superficie compacta y compleja $M$ tal que $b_1(M)=1$ y $kd(M)=-\infty$. Las superficies de clase VII con número de Betti segundo nulo han sido clasificadas por Bogomolov (y son superficies de Hopf o superficies de Inoue).

La situación es algo más complicada para las superficies con número de Betti segundo positivo. Conjeturalmente, todas estas superficies admiten una cáscara esférica global (un entorno de $S^3\subset \mathbb{C}^2/\{0\}$ holomórficamente incrustado en $M$ de manera que el complemento sea conexo). Dloussky, Oeljeklaus y Toma han demostrado que si una superficie compleja mínima $M$ con $b_2(M)>0$ admite una cáscara esférica global si y solo si contiene $b_2(M)$ curvas racionales. Los resultados de Nakamura y Teleman implican la existencia de una cáscara esférica global para superficies mínimas con $b_2(M)=1$.

Mi pregunta es: ¿qué avances se han hecho en la conjetura desde Teleman?

Answer 1

Teleman ha demostrado que la conjetura de cáscara esférica global se cumple para $b_2 = 1$, $b_2 = 2$ y $b_2 = 3$ en los siguientes artículos respectivamente:

1. Teleman, Andrei, La teoría de Donaldson en superficies no kahlerianas y superficies de clase VII con $b_2 = 1$, Invent. Math. 162, Núm. 3, 493-521 (2005). ZBL1093.32006.

2. Teleman, Andrei, Instantones y curvas en superficies clase VII, Ann. Math. (2) 172, Núm. 3, 1749-1804 (2010). ZBL1231.14028.

3. Teleman, Andrei, Teoría de Donaldson en geometría no kahleriana, en "Geometría moderna: Una celebración del trabajo de Simon Donaldson", Actas de Simposios en Matemáticas Puras, Vol. 99, 363-392 (2018).