Conjuntos ordenados sin el axioma de elección

Question

En la página $132$ de la Teoría Abstracta de Conjuntos de Fraenkel ( $1961$ ), Fraenkel escribe, sobre la cuestión de si todo conjunto puede estar bien ordenado, que

... se puede demostrar sin el axioma de elección que, para un conjunto dado $S$ y una cierta forma de reducción, existe el conjunto $M$ cuyos miembros son todos los órdenes posibles M de $S$ en la forma adoptada. Sin embargo, este resultado, por trascendental que sea, no responde a la pregunta anterior de si todo conjunto puede ordenarse, ya que sin el axioma de elección no puede demostrarse que $M!=\emptyset$ es decir, que existe un orden $M$ .

¿Puede alguien por favor referenciarme a una fuente que pruebe que para cualquier conjunto $S$ existe el conjunto $M$ cuyos miembros son todos los órdenes posibles de $S$ ¿o aportar pruebas?

Answer 1

Una relación binaria $R$ en un conjunto $S$ no es más que el conjunto $\{(a,b) \in S^2 \mid aRb\}$ . En particular, es un elemento de $\mathcal P(S^2)$ es decir, un subconjunto de $S^2$ .

Ahora, $\mathcal P(S^2)$ es un conjunto si $S$ es un conjunto. Entonces, necesitas el axioma de subconjunto para obtener las relaciones que satisfacen las propiedades de ordenación.

En concreto, desea los elementos $A$ de $\mathcal P(S^2)$ que satisfaga:

$$\forall x,y,z \in S :(x,x) \in A \land [(x,y) \in A \land (y,x) \in A \to x=y] \land \\ [(x,y) \in A \land (y,z) \in A \to (x,z) \in A] \\ [(x,y) \in A \lor (y,x) \in A]$$

Entonces habrá obtenido todas las ordenaciones posibles en $S$ .