Subgrupos de finitely generado grupos no son necesariamente finitely generado

Question

Me preguntaba esto hoy, y mi profesor de álgebra no sabía la respuesta.

Son subgrupos de finitely grupos generados finitely generado?

Supongo que es necesariamente cierto para finitely generado abelian grupos, pero es cierto en general?

Y si no, hay un ejemplo simple de un finitely generado grupo con un no-finitely generado subgrupo?

NOTA: Esta pregunta se ha fusionado con otra pregunta, se le preguntó por un estudiante universitario. Para un ejemplo, que no implique libre de grupos, por favor consulte Andreas Caranti la respuesta, la cual fue aceptada respuesta en la fusión de la pregunta.

Answer 1

No. El ejemplo dado en la Wikipedia es que el grupo $F_2$ contiene un subgrupo generado por a $y^n x y^{-n}, n \ge 1$, que es gratuito en countably muchos generadores.

Answer 2

Es bien sabido que el grupo $F_2$ en dos generadores tiene como un subgrupo de un grupo isomorfo a un grupo en un countably conjunto infinito de los generadores. Ver Qiaochu del ejemplo.

Sin embargo, un índice finito subgrupo de un finitely generado grupo finitely generado.

Answer 3

Uno de los más fáciles (contador)ejemplo está en Hungerford del Álgebra.

Deje $G$ ser el grupo multiplicativo generado por el real matrices $$a = \left(\begin{array}{l l} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right), b = \left(\begin{array}{l l} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ Deje $H$ ser el subgrupo de $G$ compuesto de matrices que tienen $1$s de la diagonal principal. A continuación, $H$ no es finitely generado.

Answer 4

Tal vez un ejemplo elemental puede ser proporcionada por la corona producto de dos copias del (de los aditivos grupo de) $\mathbf{Z}$.

Hacer copias $G_{i}$$\mathbf{Z}$$i \in \mathbf{Z}$, y vamos a $$ B = \coprod_{i \in \mathbf{Z}} G_{i} $$ ser la suma directa (subproducto).

Ahora vamos a la otra copia de la $H = \langle h \rangle$ $\mathbf{Z}$ actuar en $B$ por $$ G_{i}^{h} = G_{i+1}. $$ Más precisamente, la conjugación por $h$ toma un generador de $g_{i}$ en la copia de $G_{i}$ $\mathbf{Z}$ a un generador de $g_{i+1}$ de la $(i+1)$-th copia.

A continuación, el semidirect producto $G = B \rtimes H$ es generado por $g_{0}$$h$, pero su subgrupo $B$ requiere un número infinito de generadores.

Es fácil ver lo que está pasando. $B$ requiere un número infinito de generadores $g_{i}$. Ahora $h$ toma uno de estos generadores por la conjugación de todos los demás.