Sea
$$f(n) = \sum_{i=0}^{n-1} 10^i \tag{1}\label{eq1}$$
Por lo tanto, como usted ha demostrado,
$$x^2 f^2(n) + yf(n) = zf(2n) \implies f(n)\left(x^2 f(n) + y\right) = zf(2n) \tag{2}\label{eq2}$$
Además, tenga en cuenta que
$$f(2n) = 10^n f(n) + f(n) = f(n)\left(10^n + 1\right) \tag{3}\label{eq3}$$
Por lo tanto, sustituyendo eso en \eqref {eq2} y dividiendo por el factor común de $f(n)$ da
$$x^2f(n) + y = z(10^n + 1) \tag{4}\label{eq4}$$
En primer lugar, está el caso trivial de $x = y = z = 0$ . El resto de esta solución supondrá que $z \gt 0$ . A continuación, observe que
$$f(n) = \frac{10^n - 1}{9} \tag{5}\label{eq5}$$
Así, sustituyendo \eqref {eq5} en \eqref {eq4} da
$$\begin{equation}\begin{aligned} x^2\left(\frac{10^n - 1}{9}\right) + y & = z(10^n + 1) \\ x^2(10^n - 1) + 9y & = 9z(10^n + 1) \\ x^2(10^n) - x^2 + 9y & = 9z(10^n) + 9z \\ (x^2 - 9z)(10^n) & = x^2 - 9y + 9z \end{aligned}\end{equation}\tag{6}\label{eq6}$$
El RHS es menor que $100$ (actualización: en realidad, es menos que $1000$ pero puede ser $100$ ; véase el final para más detalles) y mayor que $-10$ por lo que para $n \ge 2$ Esto significa que $x^2 - 9z = x^2 - 9y + 9z = 0$ . Nota $x^2 - 9z = 0$ sólo se produce para $x = 3, z = 1$ y $x = 6, z = 4$ . Esto da, a partir de $x^2 - 9y + 9z = 0$ que $y = 2$ para la primera parte y $y = 8$ para la segunda parte.
Otra forma de ver esto es que la RHS de \eqref {eq4}, ya que $z$ es un dígito, en base $10$ sería $z$ seguido de $n - 1$ ceros, y luego $z$ otra vez. En el LHS, $y$ es un solo dígito. Esto significa que para $n \ge 2$ los dígitos de $x^2f(n)$ deben básicamente "desaparecer" cuando $y$ se añade, es decir $x^2f(n)$ debe ser ligeramente inferior (es decir, $\lt 9$ ) que una potencia de $10$ . Comprobación de los cuadrados de $x$ multiplicado por $11$ se puede ver que esto sólo ocurre si $x = 3$ Así que $x^2 = 9$ (siendo $1$ inferior a una potencia de $10$ ), o $x = 6$ así que $x^2 = 36$ (siendo $4$ inferior a una potencia de $10$ ). En $x = 3$ Esto significa $z = 1$ que requiere que $y = 2$ mientras que para $x = 6$ Esto significa $z = 4$ y $y = 8$ .
Obsérvese que la segunda solución procede de la primera multiplicando por $4$ en \eqref {eq4}. Puedes ver que esto cambia $x = 3$ a $x = 6$ , $y = 2$ a $y = 8$ y $z = 1$ a $z = 4$ .
En conclusión $3$ soluciones, con los conjuntos de dígitos $(x,y,z)$ en $(0,0,0)$ , $(3,2,1)$ y $(6,8,4)$ .
Actualización: Como he visto en la respuesta de fleablood Cometí un error en mi manejo de \eqref {eq6}. El lado derecho es definitivamente menor que $1000$ por lo que lo que escribí anteriormente es cierto para $n \ge 3$ . Sin embargo, el lado derecho puede ser igual a $100$ lo que significa que para $n = 2$ también está la solución $(8,3,7)$ .
