Demostrar que $\lim_{n\to \infty} [\int_E f^n (x) dx)]^{1/n} = M$ donde $M = \sup_{x\in E} f (x)$

Question

En el libro de Análisis Matemático II de Zorich en la página 128, se da que

Sea $E$ sea un conjunto Jordan-medible de medida distinta de cero, $f : E \mathbb{R}^n$ una función continua no negativa integrable en $E$ y $M = \sup_{x\in E} f (x)$ . Demostrar que

$$\lim_{n\to \infty} [\int_E f^n (x) dx)]^{1/n} = M$$

Ya he demostrado que $$\lim_{n\to \infty} [\int_E f^n (x) dx)]^{1/n} \leq M$$ desde $E$ es medible por Jordan y tiene medida distinta de cero, pero tengo problemas para demostrar lo contrario de esa afirmación, así que se agradece cualquier ayuda.

Edita:

Soy nuevo en este tema, e incluso no entiendo la premisa de la pregunta formulada, por lo que le agradecería si pudiera publicar una respuesta que se formula en términos de la declaración que he dado en la pregunta.

Answer 1

Toma $\epsilon > 0$ . Sea $F = \{x : f(x) > M-\epsilon\}$ . Entonces,

$[\int_E f^n(x)dx]^{1/n} \ge [\int_F f^n(x)dx]^{1/n} \ge [(M-\epsilon)^n \mu(F)]^{1/n} = (M-\epsilon) \mu(F)^{1/n}$ .

Desde $f$ es continua, $\mu(F) > 0$ . Desde $f$ es integrable, $\mu(F) < \infty$ . Por lo tanto, si dejamos que $n \to \infty$ vemos que podemos obtener un límite inferior de $M-\epsilon$ para todos $\epsilon > 0$ .