¿Define un polinomio infinito los números algebraicos?

Question

Como dice el título, ¿un polinomio con un número infinito de términos define números algebraicos como raíces? Un número algebraico se define como la solución de un polinomio con coeficientes racionales, pero no se suele especificar si este polinomio puede tener infinitos términos.

Answer 1

A la vista del enunciado del final de la pregunta, parece conveniente decir explícitamente que ni infinitos términos ni infinitos términos son posibles en un polinomio.

Con infinitos términos, obtendrías series de potencias (no polinomios), y éstas pueden tener raíces que no son algebraicas; por ejemplo, $\pi$ es una raíz de la función seno, que viene dada por una serie de potencias convergente en todas partes.

En cuanto a los términos infinitos, no sé qué significaría.

Answer 2

No, por definición un polinomio tiene un número finito de términos, a pesar de que existen polinomios de cualquier grado finito.

De todos modos, los números algebraicos son densos en $\mathbb{C}$ y así cualquier función continua que es cero en todos los números algebraicos es en realidad sólo cero.