¿Una prueba del lema de la salamandra sin el teorema de incrustación de Mitchell?

Question

El lema de la salamandra es un lema en álgebra homológica del que se desprenden rápidamente una serie de teoremas, algunos de los más famosos son el lema de la serpiente, el lema del cinco, el lema agudo 3x3 (lema del nueve generalizado), etc. Sin embargo, la única prueba que he visto de este lema es mediante la persecución de un diagrama después de reducir a R-mod utilizando el teorema de incrustación de mitchell. ¿Existe una prueba elemental de este lema por propiedades universales en una categoría abeliana (no sé si podemos debilitar los requisitos más allá de una categoría abeliana)?

Si no has oído hablar del lema de la salamandra, aquí tienes lo relevante papel .

Y aquí hay un artículo sobre ello de nuestro amable administrador, Anton Geraschenko: ¡Click!

Además, una pequeña pregunta al margen, pero ¿alguien sabe un buen lugar para encontrar algunas pruebas teórico-grama trabajado que no utilizan Mitchell y demostrar todo por la propiedad universal? No es que tenga nada en contra de hacerlo así (desde luego es mucho más rápido), pero me interesaría ver algunas demostraciones hechas sin él, simplemente trabajando a partir de los axiomas y las propiedades universales.

TENGA EN CUENTA LA SIGUIENTE EDICIÓN

EDITAR: Jonathan Wise publicó una edición de su respuesta en la que proporcionó una gran prueba para la pregunta original (¡no utiliza ningún indicio de elementos!). Me he dado cuenta de que sólo ha recibido cuatro votos por la respuesta, así que he pensado en llamar la atención de todos, ya que no sabía que había añadido esta respuesta hasta ayer. El problema es que puso su aviso de edición en medio del texto sin ponerlo en negrita, así que se me pasó por completo (presumiblemente, al igual que a la mayoría de la gente).

Answer 1

Hay una prueba del lema de la serpiente sin elementos (¿una prueba no elemental?) en mi (antiguo) sitio web.

http://math.stanford.edu/~jonathan/papers/snake.pdf

Editar : He añadido una sección sobre el lema de la salamandra.

Edición posterior : Como señala Charles Rezk más abajo, mi demostración del lema de la salamandra sólo es correcta en un caso especial. Corregiré la prueba cuando encuentre el archivo tex.

Lo que hace que trabajar con elementos en una categoría abeliana sea más fácil que trabajar con objetos es que los elementos del objetivo de un epimorfismo se pueden elevar al origen. Si tu categoría abeliana tiene suficientes proyectivos, una demostración con elementos puede adaptarse a una sin elementos sustituyendo cada elemento por una proyección desde un objeto proyectivo. Si no tienes suficientes proyectivos, puedes arreglártelas sin elementos. Hay que sustituir el concepto de "elemento" por el de "epimorfismo a partir de algo"; entonces, cada "elemento" se puede levantar pasando a un epimorfismo más refinado.

Esto es sólo código para trabajar localmente en la topología generada por epimorfismos. (Que es una topología está implícito en AB2.) Puesto que siempre hay suficientes gavillas inyectivas de grupos abelianos, esto da una incrustación exacta de cualquier categoría abeliana en una categoría abeliana con suficientes injectivos (o, si trabajamos con "cotopologías", una categoría con suficientes projectivos). Esto permite aplicar el enfoque más sencillo descrito anteriormente (utilizando proyectivos) en lugar de "pro-epimorfismos".

Una vez que se tiene una incrustación en una categoría abeliana de Grothendieck (la categoría de gavillas de grupos abelianos siempre es una), no queda mucho para demostrar el teorema de la incrustación de Mitchell.

Answer 2

Una sugerencia totalmente no elemental que evita cualquier tipo de teorema de incrustación es tomar la categoría derivada de la categoría abeliana y, a continuación, buscar casos especiales del axioma octaédrico. Sea $A, B, C$ sean tres objetos de la categoría derivada, $f: A\rightarrow B, g:B\rightarrow C$ tal que $gf=0$ . El axioma octaédrico dice que hay un triángulo distinguido $Cone(f)\rightarrow C+A[1] \rightarrow Cone(g)\rightarrow Cone(f)[1]$ . Deberías ser capaz de recuperar el lema de la salamandra a partir de la larga secuencia exacta de este complejo. Esto debería ser más fácil de ver con la reducción en la nota Jonathan Wise publicado (por lo que $A, B$ y $C$ son complejos de 2 términos).

Siento no añadir detalles por el momento -- no los he comprobado, pero estoy bastante seguro de que esto funciona. Si no es así, me desilusionaré, ya que esto es lo que me convenció para adoptar el axioma octaédrico.

Answer 3

El primer artículo sobre categorías abelianas es "Exact Categories and Duality" de D. A. Buchsbaum. Se publicó en 1955, dos años antes del famoso artículo de Grothendieck en Tohoku. Puede encontrarlo en jstor . La sección 5 trata de "lemas fundamentales" como el lema de los Nueve (5.5), el lema de la Serpiente (5.8) y el lema de los Cinco (5.9). Las pruebas son directas utilizando la definición de una categoría abeliana (llamada "categoría exacta" por Buchsbaum, este término fue utilizado más tarde por Quillen), en particular utilizan - por supuesto - ningún elemento. Desgraciadamente no puedo encontrar el lema de la salamandra, pero sí muchos conceptos básicos de álgebra homológica como homología, funtores derivados, satélites. Básicamente Buchsbaum observó que no hay nada especial en las categorías de módulos tratadas en el libro de referencia de Eilenberg-Cartan sobre álgebra homológica.

Answer 4

Quizá ya haya consultado el libro de Freyd de 1964 sobre Categorías abelianas que se revisa aquí ? Aunque el libro está orientado a la demostración del teorema de incrustación de Mitchell, en el capítulo 2 aborda una serie de búsquedas de diagramas categóricos.