Máximo y mínimo de una función fraccionaria

Question

Sea $x, y \in \mathbb{R}$ , $a, b, c$ son tres parámetros reales con $c\neq 0$ . Hallar el máximo y el mínimo de $\dfrac{ax+by+c}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Esto es bastante complicado si calculo la derivada. ¿Hay alguna otra manera? Por favor, ayúdame.

Gracias.

Sé que algunas personas han votado mi pregunta, sé cómo utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, pero esto sólo me da el máximo, no el mínimo. No soy bueno en este tipo de matemáticas, así que, en lugar de votar en contra, por favor, explique para mí.

Answer 1

Su función, llámela $F$ es $c$ veces el producto punto de $(a/c,b/c,1)$ y el vector unitario $\vec{n}$ en dirección a $(x,y,1)$ . Si $\theta$ es el ángulo entre $(a/c,b/c,1)$ y $\vec{n}$ entonces $(a/c,b/c,1) \cdot \vec{n}$ se minimiza cuando $\cos\theta = -1$ en cuyo caso el valor mínimo de $F$ es $c(-\|(a/c,b/c,1)\|) = -\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ si $c > 0$ . Si $c < 0$ el valor mínimo de $F$ es $c$ veces el máximo de $(a/c,b/c,1) \cdot \vec{n}$ . Desde $(a/c,b/c,1)\cdot \vec{n}$ se maximiza cuando $\cos\theta = 1$ el mínimo de $F$ es $c\|(a/c,b/c,1)\| = -\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ .