He estado aprendiendo sobre las funciones zeta de Dedekind y algunas funciones L básicas en mi clase de introducción a la teoría algebraica de números, y me he estado preguntando por qué algunas funciones se llaman funciones L y otras se llaman funciones zeta. Sé que la función zeta es un producto de funciones L, así que parece que una función L es de algún modo un componente de una función zeta (al menos en el caso de las funciones L de Artin, que corresponden a representaciones específicas). ¿Es ésta la idea que subyace a la distinción entre "función zeta" y "función L"? ¿Cómo se generalizan las cosas a otros tipos de funciones zeta y L?
Respuestas
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Permítanme decir primero que una función zeta de Dedekind es siempre un producto de funciones L de Artin. Lo importante aquí es la estructura del cierre de Galois. Permítanme dar un buen ejemplo que es indicativo del caso general. Sea $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sea un cúbico irreducible, y sea $\alpha$ sea una raíz de $p$ . Entonces $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ tiene grupo de automorfismo trivial, y su cierre de Galois (digamos $L/\mathbb{Q}$ ) es una extensión de S3. El grupo S3 tiene tres representaciones irreducibles: la representación trivial, la "representación signo" $\chi$ que también es unidimensional, y una representación bidimensional irreducible que llamaremos $\rho$ . Entonces tenemos las relaciones $\zeta_K(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)L(s,\rho)$ y $\zeta_L(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)L(s,\chi)L(s,\rho)^2$ . Las pruebas de estos hechos forman parte del formalismo de las funciones L de Artin.
En general, la distinción es realmente una cuestión de historia. Ciertos objetos recibieron el nombre de funciones zeta -Hasse-Weil, Dedekind-, mientras que Dirichlet eligió la letra "L" para las funciones que hizo a partir de caracteres. Sin embargo, una característica es que las funciones "zeta" tienden a tener polos, y a menudo se "factorizan" en funciones L. Estas imprecisiones se precisan en varios lugares, por ejemplo en el capítulo 5 de Iwaniec-Kowalski y en algunos artículos sobre la "clase Selberg" de las series de Dirichlet.
Bob Somers
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Aunque nadie parece haberlo sugerido, mi opinión personal al respecto es que no hay diferencia alguna. Claro, si la gente empieza a hablar de "funciones zeta de Dedekind" o "Artin $L$ -funciones", entonces empieza a haber relaciones entre estas opciones específicas. Pero para mí, todos estos son casos especiales de automórficos $L$ -que, en un universo paralelo, podrían haberse llamado fácilmente funciones zeta automórficas. La historia nos dice que las variedades tienen funciones zeta, los caracteres de Dirichlet tienen $L$ -los campos numéricos tienen funciones zeta, las curvas elípticas tienen $L$ -funciones, etc. Pero en realidad (al menos conjeturalmente) no son más que casos de lo mismo: no son más que (simples combinaciones de) automorfismos. $L$ -que, como digo, podrían haberse llamado fácilmente funciones zeta automórficas.
kzh
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Las funciones L dependen de caracteres (o representaciones), las funciones zeta no (o corresponden a un carácter trivial). Por ejemplo, $L(s,\chi) = \sum_{n = 1}^{\infty}\chi(n)n^{-s}$ donde $\chi$ es un carácter Dirichlet. Supongamos que $\chi_0$ es el carácter trivial módulo $q$ obtenemos $L(s,\chi_0) = \zeta(s)\prod_{p|q}(1 - p^{-s})$ donde $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann.
Así pues, las funciones L de Dirichlet generalizan la función zeta de Riemann. La función zeta de Dedekind también se generaliza de la misma manera, a las funciones L con Hecke Grössencharacters.
(Se ha eliminado una afirmación falsa al final; como señala David Hansen, se puede obtener una factorización en funciones L de Artin (pertenecientes al cierre de Galois de la extensión) incluso cuando la extensión no es de Galois factorizando la función zeta de Dedekind del cierre de Galois y quitando algunos factores).
Hans-Peter Störr
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También me gustan las otras respuestas, pero me parecía una tontería añadir comentarios a todas... :
Según mi percepción, en primer lugar, tiendo a no sentir una diferencia entre "función zeta unida a..." y "función L unida a...", aunque sólo sea porque el uso es variable.
En segundo lugar, en muchos contextos (analítico/automórfico o geométrico/motivacional o...) una función zeta es una función L con "datos adicionales" relativamente triviales, signifique eso lo que signifique en el contexto. Así, las funciones zeta de Dedekind son funciones L de Hecke con datos triviales, por ejemplo. Análogamente para esquemas sin o con gavilla no trivial, en el otro mundo. Esta regla general ciertamente no es estricta... dependiendo del uso.
En tercer lugar, están los milagros sistemáticos, en parte probados, en parte conjeturados, que los zetas "mayores" factor en funciones L "más pequeñas". Teoría de campos de clases y cosas así. Esto pone de manifiesto la ambigüedad del "uso", es decir, que se necesita una "base" para entender la "trivialidad", etc.
Edición: de nuevo depende significativamente del "uso"... Si decimos que una "función L" (o "función zeta") "tiene una continuación analítica (demostrable por nosotros)", entonces esto desautorizaría accidentalmente las funciones zeta/L de Hasse-Weil de variedades/esquemas/lo que sea, porque en este año conocemos "pocos" casos en los que podamos demostrarlo, aunque conjeturalmente es casi siempre así (lo que significa que los polos, si los hay, son finitos y descriptibles). Del mismo modo, la factorización en L-funciones de Artin es, por un lado, completamente buena (desde hace décadas), pero, por otro, insatisfactoria, ya que no conocemos su holomorfía, ... por lo que podríamos decidir que todavía (en 2012) no son "L-funciones" plenamente legítimas? Y/o que la "factorización" de las zetas de Dedekind en tales cosas no es del todo satisfactoria (como en un comentario). No me sorprendería que tales "tecnicismos" persistan en cosas de las que sé menos :)
Will Sawin
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Las funciones zeta surgen de los esquemas. $L$ -surgen de esquemas + una gavilla en ese esquema.
Obviamente, la función zeta de un campo numérico $K$ es la función zeta de $\operatorname{Spec} K$ .
En $L$ -de una curva elíptica es la función $L$ -función de su módulo Tate. Su función zeta es $\frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{L(s,E)}$ donde $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann.
La factorización de una función zeta en $L$ -es la factorización de la cohomología etale en representaciones de Galois irreducibles. Los polos surgen de los factores que son giros Tate de representaciones triviales, en particular de $H^0$ y $H^{2d}$ .
