Resolver límite simple.

Question

He estado intentando resolver el siguiente límite utilizando diferentes enfoques (L'Hôpital, equivalencias asintóticas) pero no consigo llegar a la respuesta correcta. Wolfram Alpha devuelve $\frac{1}{2}$ como respuesta, y lo mismo hace mi calculadora cuando inserto valores pequeños para $x$ . Sin embargo, la solución paso a paso no está disponible.

$$\lim_{x\to 0}\frac{\log(\frac{e^{x^2}-1}{x^2})}{x\sin x}$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes :

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\log \left(\frac{e ^ {x^2} - 1}{x^2} \right)}{x\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log \left(\frac{e ^ {x^2} - 1}{x^2} \right)}{x^2} \times \frac{x}{\sin x} $$

Sabemos que $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1}$ . Ahora, sustituyendo $x^2 \rightarrow t$ , $$ \begin{align} \lim_{t\to 0} \frac{\log \left(\frac{e ^ {t} - 1}{t} \right)}{t} &= \lim_{t\to 0} \frac{\log \left(1 + \frac{e ^ {t} - 1 - t}{t} \right)}{\frac{e ^ {t} - 1 - t}{t}} \times \frac{e ^ {t} - 1 - t}{t^2} \\ &= 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align}$$

Answer 2

Sugerencia

• sustituir $\sin(x)$ por su equivalente $x$ .

• poner $x^2=t$

• utilice $\frac{\ln(1+X)}{X}\sim X \;(X\to 0)$ .

con $X=\frac{e^x-1}{x}-1$ .

Answer 3

Explicando un poco las cosas, si $x \to 0 \ e^{x^2} \sim 1+x^2 + \frac{x^4}{2} + O(x^8)$ . SI usted hace esta expansión, el resto sale fácilmente una vez que utilice $\log(1+t) \sim t \to \frac{\log (1+t)}{t} \to _t 1$ .

Este es el resultado de la expansión de la serie de Maclaurin.

Answer 4

Convierto mi comentario en una respuesta. En realidad puedes utilizar L'Hospital para evaluar tu límite. Pero tienes que aplicarlo dos veces. Esto se puede ver como diferenciar el denominador dos veces produce $$(x\sin(x))''=2\cos(x)-x\sin(x)$$ que converge a $2$ para $x \to 0$ .

Aplicar L'Hospital la primera vez es legítimo ya que $x\sin(x) \to 0$ y $\log\left(\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\right) \to 0$ para $x\to 0$ como

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{2x e^{x^2}}{2x}=1.$$

Lo mismo puede observarse al aplicar L'Hospital por segunda vez. Te lo dejo a ti. Finalmente se obtiene

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log\left(\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\right)}{x\sin(x)} = \frac12.$$