pregunta sobre ideales homogéneos

Question

Sea $A=k[x_0,...,x_n]$ sea un anillo polinómico sobre un campo con $n\geq 1$ . Sea $I$ sea un ideal homogéneo y sea $f\in A$ sea un polinomio homogéneo. Supongamos que para cada $i=0,...,n$ existe $g_i\in I$ tal que $$f(x_0,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n) =g_i(x_0,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n).$$ Creo que debemos tener esa $f\in I$ . ¿Es así? y ¿cómo demostrarlo?

La motivación para esto es mi intento de demostrar la biyección entre subesquemas cerrados de $P_k^n$ e ideales homogéneos (que no contengan $(x_0,...,x_n)$ ).

Editar: Sólo me gustaría señalar para mi referencia futura que la respuesta aceptada a continuación da dos ideales homogéneos diferentes en, digamos, $k[x,y]$ que determinan el mismo subesquema cerrado en $P_k^1$ . A saber $(x,xy)$ y $(x^2,xy).$

Answer 1

No creo que la afirmación sea cierta. Por ejemplo $f=x_0$ y para $0\leq i\leq n$ deje $g_i=x_0x_i$ y definir $I=(g_0,\ldots ,g_n)$ . Obviamente $f\notin I$ ya que todos los generadores de $I$ son homogéneas de grado $2$ pero $f$ es homogénea de grado $1$ . Por otra parte, $$f(x_0,\ldots,x_{i-1},1,x_{i+1},\ldots,x_n)=g_i(x_0,\ldots,x_{i-1},1,x_{i+1},\ldots,x_n).$$

Answer 2

En caso de que $I$ es un ideal radical que no es el ideal irrelevante podemos demostrarlo de la siguiente manera: La condición implica que para cada $i$ , $$x_i^kf=g_i$$ para algunos $k\in \mathbb{Z}$ . Si $k\leq 0$ para algunos $i$ hemos terminado. Si no, entonces para cualquier ideal primo mínimo $p$ en $I$ Toma $i$ s.t. $x_i\notin p$ . Entonces $x_i^kf=g_i\in p$ implica $f\in p$ . Así que $f$ está en todos los primos mínimos situados sobre $I$ y así $f\in I$ desde $I$ es radical.