derivada de una integral impropia con variables en los límites

Question

Encontré la siguiente integral y su evaluación en un artículo científico sobre el transporte de sedimentos ( https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9429(2000)126:11(818) si te interesa) y lo he verificado en wolfram alpha, pero me pregunto si alguien puede ayudarme a entender por qué es cierto. ¡Gracias!

Answer 1

Por la regla integral de Leibniz, deberíamos tener

$$\frac{\partial}{\partial x}\int_{-\infty}^x f(y) \left(\int_{x - y}^\infty g(t) dt\right) dy = \left[f(y)\left(\int_{x - y}^\infty g(t) dt\right)\right]_{y = x} + \int_{-\infty}^x \frac{\partial}{\partial x} \left[f(y) \left(\int_{x - y}^\infty g(t) dt\right)\right] dy$$

Evaluando el primer término y aplicando la regla de Leibniz al segundo se obtiene

$$f(y)\int^\infty_0 g(t) dt + \int_{-\infty}^x f(y) (-g(x - y)) dy$$

que coincide con su lado derecho.