Sobre sumas de residuos cuadráticos

Question

Sea $p>3$ sea un primo. Establecemos $R=\{x\in\mathbb{Z}: (x/p)=1\}$ donde $(\cdot/p)$ es el símbolo de Legendre. Cuando $p\equiv3\pmod4$ por fórmulas de clase de campos cuadráticos imaginarios $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ podemos obtener fácilmente que $$A_p:=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x=(p^2-1)/16,\ \text{if}\ p\equiv7\pmod8,$$ y que $$A_p=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x=(p^2-1+8ph(-p))/16,\ \text{if}\ p\equiv3\pmod8,$$ donde $h(-p)$ es el número de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ . Sin embargo, en el caso $p\equiv1\pmod4$ No puedo obtener el valor explícito de $$A_p=\sum_{0<x<p/2,x\in R}x.$$

Sus comentarios son bienvenidos.

Answer 1

Por fórmulas estándar para valores de funciones L en enteros negativos, para $p\equiv1\pmod4$ uno tiene $$A_p=(p^2-1)/16+aL(\chi_p,-1)\;,$$ con $a=3/4$ si $p\equiv1\pmod8$ y $a=5/4$ si $p\equiv5\pmod8$ donde $\chi_p(x)=(x/p)$ .