Grupo de Weyl de un espacio simétrico

Question

Sea $G/K$ sea un espacio simétrico de tipo no compacto, es decir $G$ es un grupo Lie semisimple conexo, y $K$ es su subgrupo compacto máximo. Helgason en su libro "Differential geometry and symmetric spaces" define el grupo de Weyl $W(G,K)$ como sigue.

Sea $\mathfrak{g}=Lie(G), \mathfrak{k}=Lie(K)$ . Sea $$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}\oplus \mathfrak{p}$$ sea la descomposición de Cartan. Sea $\mathfrak{a}$ sea un subespacio abeliano máximo de $\mathfrak{p}$ . Sea $M$ y $M'$ sean respectivamente el centralizador y el normalizador de $\mathfrak{a}$ sur $K$ . Claramente $M$ es un subgrupo normal de $M'$ . Entonces $$W(G,K):=M'/M$$ se denomina grupo de Weyl de $G/K$ y se sabe que es finito.

Pregunta. ¿Existe una relación directa entre $W(G,K)$ y el grupo de Weyl $W$ de $G$ (o quizás sea mejor decir de la forma compacta de $G$ )? Por ejemplo, ¿se puede decir que $W(G,K)\subset W$ de alguna forma natural?

Una referencia sería muy útil.

Answer 1

La respuesta está en el libro que citas (versión de 1978) en la página 325.