No es una respuesta muy general, pero sí conveniente y significativa. Puedes leer la dimensión típica de una representación aleatoria, mediante la fórmula de la longitud del gancho. Por supuesto, no es tan sencillo como, oh, aquí tienes una fórmula, porque tienes que comprobar si la fórmula es estable. Sin embargo, la fórmula de la longitud de gancho es un factorial dividido por un producto de longitudes de gancho. Así que se puede comprobar que el logaritmo de la fórmula es estadísticamente estable. Hasta la normalización, se limita a una integral bien comportada sobre la forma de Kerov-Vershik.
La dimensión de una representación de grupo es, por supuesto $\chi(1)$ la traza de la identidad. Dado el buen comportamiento de esta estadística en una representación aleatoria, es natural preguntarse por el valor típico de $\chi(\sigma)$ para otro tipo de permutación $\sigma$ . Surgen dos problemas. El primero, $\sigma$ no es realmente un tipo de permutación, sino una secuencia natural infinita de permutaciones. En segundo lugar, la fórmula de Murnaghan-Nakayama para $\chi(\sigma)$ y probablemente cualquier regla general, no es estadísticamente estable. La regla de Murnaghan-Nakayama es una suma alternante recursiva; para aplicarla a una gran representación aleatoria de Plancherel habría que saber mucho sobre las estadísticas locales de su tableau, y no sólo sobre su forma. Por ejemplo, supongamos que $\sigma$ es una transposición. Entonces la regla MN te dice que tomes una cierta suma alternada sobre dominós de borde del tableau $\lambda$ . (El signo es positivo para el dominó horizontal y negativo para el dominó vertical). Sospecho que existe un valor típico para $\chi(\sigma)$ cuando $\sigma$ es una transposición, o probablemente cualquier permutación de tipo fijo que sea local en el sentido en que una transposición es local. Pero para ello se utilizaría un elaborado refinamiento del teorema de Kerov-Vershik, análogo al teorema del límite central local aumentado por un operador de diferencia local, y no sólo el Kerov-Vershik original.
Sin embargo, he encontrado otro límite de caracteres con este espíritu que se comporta mejor. En Sobre el número de cuadros de gancho de llanta Fomin y Lulov establecieron una fórmula de producto para el número de $r$ -rim hook tableaux, que también es $\chi(\sigma)$ cuando $\sigma$ es una permutación "libre" formada íntegramente por $r$ -(y sin puntos fijos o longitudes de ciclo que sean factores de $r$ ). Esto incluye el importante caso de las involuciones sin punto fijo. Si $\sigma$ actúa sobre $mr$ letras, entonces según ellos, el número de éstas es $$\chi_\lambda(\sigma) = \frac{m!}{\prod_{r|h(t)} (h(t)/r)},$$ donde $h(t)$ es la longitud del gancho en alguna posición $t$ en la forma $\lambda$ .
Afortunadamente, se trata sólo de una fórmula de producto y no de una suma alternada o incluso de una suma positiva. Para aproximar el logaritmo de este carácter con una integral, sólo se necesita un refinamiento suave de Kerov-Vershik, uno que dice que la longitud de gancho $h(t)$ de un puesto típico $t$ es uniformemente aleatorio módulo $r$ . (Así que este es un buen argumento asintótico cuando $r$ es fijo o sólo crece lentamente).
Corrección: Por a comentario JSE ya pensó en la primera parte de mi respuesta, que expuse con exceso de confianza. La estimación de $\log \chi(1)$ (y en los demás casos, por supuesto) es una integral impropia, supongo, por lo que no se deduce simplemente de la afirmación de Kerov-Vershik que la integral te dé una estimación exacta de la forma $$\log \chi(1) = C\sqrt{n}(1+o(1)).$$ Sin embargo, parece que estos problemas han sido barridos por versiones posteriores más fuertes del resultado original de Kerov-Vershik. El artículo de arXiv Ivanov y Olshanki - Teorema del límite central de Kerov para la medida de Plancherel en diagramas de Young. establece no sólo un límite típico para la dimensión (y otros valores de carácter), sino también un teorema central del límite.
