Encontrar este Determinante

Question

Tengo que encontrar a este determinante, lo llaman $D$ \begin{vmatrix} \frac12 & \frac1{3}& \frac1{4} & \dots & \frac1{n+1} \\ \frac1{3} & \frac14 & \frac15 & \dots & \frac1{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac1{n+1} & \frac1{n+2} & \frac1{n+3} & \dots & \frac1{2n} \end{vmatrix}

Como no hay ceros en allí, a pesar de ser una matriz simétrica, la búsqueda de este determinante es difícil para mí. ¿Hay algún truco etc. Yo no conozco a ningún softwares para encontrar este determinante.

---

Traté de hacer un patrón mediante el cálculo de $n=1,2,3,\dots$

$n=1 \hspace{5cm}D_1=\frac12\\ n=2 \hspace{5cm} D_2=\frac12\frac14-\frac13\frac13\\ \\n=3 \hspace{5cm} D_3=\frac12\frac14\frac16-\frac13\frac13\frac16-\frac12\frac15\frac15-\frac14\frac14\frac14+\frac13\frac14\frac15+\frac13\frac14\frac15$

Lo que me irregular a partir de aquí es, para obtener $D_2$, (incluso el caso)

Llegamos $\frac12\frac14$ multiplicando las entradas de la diagonal y luego restando $\frac1x\frac1x$ donde $x=\frac{2+4}2$

A continuación, para obtener $D_3$ (extraño caso), obtenemos nuestro primer término, es decir, $\frac12\frac14\frac16$ multiplicando las entradas de la diagonal y para obtener el resto seguimos este patrón que restar $\frac1x\frac1y\frac1z$, donde primero debemos arreglar $x=2$ y hacer $y=z=\frac{4+6}2=5$, del mismo modo que a continuación nos resta por fijación $x=6$ $y=z=\frac{2+4}2=3$ y, a continuación, a través de la fijación $x=4$$y=z=\frac{4+4}2=4$, y para obtener los términos que se agregan añadimos términos de la forma $\frac1x\frac1y\frac1z$ poniendo $x=\frac{2+4}2 , y=\frac{4+4}2=4,z= \frac{4+6}2=5$, sino que lo hacemos a $2$ veces.

Ahora por curiosidad he tenido que calcular el $n=4,5$. Aquí están ellos-

Para $n=4 \text{(even case)} \hspace{3cm} D_4=\frac1{2.4.6.8}-\frac1{2.5.5.8}-\frac1{2.4.7.7}-\frac1{2.6.6.6}\frac1{3.3.6.8}-\frac1{3.4.6.7}-\frac1{5.5.3.7}-\frac1{3.4.6.7}-\frac1{4.4.4.8}-\frac1{4.5.5.6}-\frac1{3.5.5.7}-\frac1{4.5.5.6}-\frac1{4.5.5.6}+\frac1{2.5.6.7}+\frac1{2.5.6.7}+\frac1{4.5.5.6}+\frac1{3.3.7.7}+\frac1{3.4.5.8}+\frac1{3.6.6.5}+\frac1{3.4.5.8}+\frac1{4.4.5.7}+\frac1{4.4.6.6}+\frac1{3.6.6.5}+\frac1{5.5.5.5}+\frac1{4.4.5.7}$.

Esto ayuda un poco en el reconocimiento de un patrón, incluso en el caso, pero para asegurarse de que uno tiene que encontrar $n=6$ de los casos.

Supongo que $n=5$ de los casos será suficiente para reconocer un patrón, si el de arriba se menciona en $n=3$ obras, como por que, $D_5$ debe venir a ser

$D_5=\frac1{2.4.6.8.10}- {^5C_2} \text{terms of the form} \frac1{x_1x_2x_3x_4x_5}, \text{where any three terms say} x_1,x_2,x_3$ son fijos de $2,4,6,8,10$ $x_4,x_5$ toma los valores de la media de los otros dos restantes y lo mismo para términos positivos, pero parecen muy menor número de términos que ya existían $12$ negativo en términos de expansión de $D_4$, así que aquí algunos de los más negativos en términos aparecen y su patrón puede ser conocido sólo por la búsqueda de ellos, después de unos pocos pasos, puede ser hasta un $n=11$ o $12$, podemos ver un patrón general en el que aparecen.

Estoy seguro de que después de calcular todo esto que hay un patrón, pero puede ser demasiado complejo para encontrar a mano, como los cálculos se pone enorme, y es también, probablemente, un martillo para matar a una hormiga, como yo no soy consciente de que cualquier otro truco, he trabajado por todo esto, puede ser que alguien pueda encontrar una solución más rápida?

Answer 1

Supongo que es más fácil ir a por una fórmula de reducción. Me proceder a lo largo de la generalización menciona en el comentario:

Llame a la determinante $M = M_n(x_1,x_2,\cdots, x_n)$

$$\displaystyle \begin{align}M &= \left|\begin{matrix}\dfrac{1}{x_1+x_1} & \cdots & \dfrac{1}{x_1+x_n}\\ \dfrac{1}{x_2+x_1} & \cdots & \dfrac{1}{x_2+x_n}\\ \cdot & \cdot &\cdot \\ \dfrac{1}{x_n+x_1} & \cdots & \dfrac{1}{x_n+x_n}\end{matrix}\right| \\& \text{subtract R1 from each row} \\&= \left|\begin{matrix}\dfrac{1}{x_1+x_1} & \cdots & \dfrac{1}{x_1+x_n}\\ \dfrac{x_1 - x_2}{(x_2+x_1)(x_1+x_1)} & \cdots & \dfrac{x_1 - x_2}{(x_2+x_n)(x_1+x_n)}\\ \cdot & \cdot &\cdot \\ \dfrac{x_1 - x_n}{(x_n+x_1)(x_1+x_1)} & \cdots & \dfrac{x_1 - x_n}{(x_n+x_n)(x_1+x_n)}\end{matrix}\right| \\&= \prod\limits_{j=2}^{n} (x_1 - x_j)\times \prod\limits_{j=1}^{n}\frac{1}{(x_1+x_j)} \times \left|\begin{matrix}1 & \cdots & 1\\ \dfrac{1}{(x_2+x_1)} & \cdots & \dfrac{1}{(x_2+x_n)}\\ \cdot & \cdot &\cdot \\ \dfrac{1}{(x_n+x_1)} & \cdots & \dfrac{1}{(x_n+x_n)}\end{matrix}\right|\end{align}$$

De nuevo restando $\textrm{C1}$ de cada columna,

$$\begin{align}\left|\begin{matrix}1 & \cdots & 1\\ \dfrac{1}{(x_2+x_1)} & \cdots & \dfrac{1}{(x_2+x_n)}\\ \cdot & \cdot &\cdot \\ \dfrac{1}{(x_n+x_1)} & \cdots & \dfrac{1}{(x_n+x_n)}\end{matrix}\right| &= \left|\begin{matrix}1 & \cdots & 0\\ \dfrac{1}{(x_2+x_1)} & \cdots & \dfrac{x_1 - x_n}{(x_2+x_n)(x_2+x_1)}\\ \cdot & \cdot &\cdot \\ \dfrac{1}{(x_n+x_1)} & \cdots & \dfrac{x_1 - x_n}{(x_n+x_n)(x_n+x_1)}\end{matrix}\right|\\&= \prod\limits_{j=2}^{n} (x_1-x_j) \times \prod\limits_{j=2}^n \frac{1}{x_j+x_1} \times \left|\begin{matrix}1 & \cdots & 0\\ 1 & \cdots & \dfrac{1}{(x_2+x_n)}\\ \cdot & \cdot &\cdot \\ 1 & \cdots & \dfrac{1}{(x_n+x_n)}\end{matrix}\right|\\&= \prod\limits_{j=2}^{n} (x_1-x_j) \times \prod\limits_{j=2}^n \frac{1}{x_j+x_1} \times M_{n-1}(x_2,x_3,\cdots ,x_n)\end{align}$$

Por lo tanto, $$M_n(x_1,x_2,\cdots, x_n) = \frac{\prod\limits_{1 \le j < i \le n} (x_i-x_j)^2}{\prod\limits_{1 \le i,j \le n} (x_i+x_j)}$$

Answer 2

Consideramos un caso general. Vamos $$ |A|=\left|\begin{array}{}{\dfrac1{a_1+b_1}\cdots\dfrac1{a_1+b_n}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\\dfrac1{a_n+b_1}\cdots\dfrac1{a_n+b_n}} \end{array}\right| $$ En su caso, coloque $a_i=i,b_j=j$.

Multiplicando $i^{th}$ fila $\prod\limits_{j=1}^{n}(a_i+b_j)$ cada uno, tenemos $$ |A|=\dfrac1{\prod\limits_{i,j=1}^{n}(a_i+b_j)}\left|\begin{array}{}{\prod\limits_{j=2}^{n}(a_1+b_j)\cdots\prod\limits_{j=1}^{n-1}(a_1+b_j)\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\\prod\limits_{j=2}^{n}(a_n+b_j)\cdots\prod\limits_{j=1}^{n-1}(a_n+b_j)} \end{array}\right| \hspace{20 mm}(1) $$ Desde cada una de las $(i,j)$ elemento $(1)$ puede ser expandida en el polinomio, yo.e $$ \prod\limits_{k=1,k\ne j}^{n}(a_i+b_k)=a_i^{n-1}+\sum\limits_{k=1,k\ne j}^{n}{b_k}a_i^{n-2}+\cdots+\prod\limits_{k=1,k\ne j}^{n}{b_k}=\pmatrix{1&a_i&\cdots &a_i^{n-1}}\pmatrix{\prod\limits_{k=1,k\ne j}^{n}{b_k}\\ \vdots \\ \sum\limits_{k=1,k\ne j}^{n}{b_k}\\1} $$ Así \begin{align} \left|\begin{array}{}{\prod\limits_{j=2}^{n}(a_1+b_j)\cdots\prod\limits_{j=1}^{n-1}(a_1+b_j)\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\\prod\limits_{j=2}^{n}(a_n+b_j)\cdots\prod\limits_{j=1}^{n-1}(a_n+b_j)} \end{array}\right|&=\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} a_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}a_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} a_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}a_n^{n-1}} \end{array}\right|\left|\begin{array}{}{\prod\limits_{k=1,k\ne 1}^{n}{b_k} \hspace{4 mm} \prod\limits_{k=1,k\ne 2}^{n}{b_k} \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}\prod\limits_{k=1,k\ne n}^{n}{b_k}\\ \vdots\hspace{40 mm} \vdots \\ \sum\limits_{k=1,k\ne 1}^{n}{b_k} \hspace{4 mm} \sum\limits_{k=1,k\ne 2}^{n}{b_k} \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}\sum\limits_{k=1,k\ne n}^{n}{b_k}\\1\hspace{20 mm}1\hspace{7 mm}\cdots\hspace{7 mm} 1} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} a_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}a_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} a_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}a_n^{n-1}} \end{array}\right|f(b_1\cdots b_n) \\ &=R_1(b_1\cdots b_n)\etiqueta{2} \end{align} donde $f(b_1\cdots b_n)$ es un polinomio de $b_1\cdots b_n$.

Ahora multiplicando $j^{th}$ columna $\prod\limits_{i=1}^{n}(a_i+b_j)$ cada uno, tenemos $$ |A|=\dfrac1{\prod\limits_{i,j=1}^{n}(a_i+b_j)}\left|\begin{array}{}{\prod\limits_{i=2}^{n}(a_i+b_1)\cdots\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_i+b_1)\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\\prod\limits_{i=2}^{n}(a_i+b_n)\cdots\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_i+b_n)} \end{array}\right| \hspace{20 mm}(3) $$

Expanda cada una de las $(i,j)$ elemento $(3)$ en el polinomio de $b_j$, tenemos $$ \prod\limits_{k=1,k\ne i}^{n}(a_k+b_j)=b_j^{n-1}+\sum\limits_{k=1,k\ne i}^{n}{a_k}b_j^{n-2}+\cdots+\prod\limits_{k=1,k\ne i}^{n}{a_k}=\pmatrix{1&b_j&\cdots &b_j^{n-1}}\pmatrix{\prod\limits_{k=1,k\ne i}^{n}{a_k}\\ \vdots \\ \sum\limits_{k=1,k\ne i}^{n}{a_k}\\1} $$ Así \begin{align} \left|\begin{array}{}{\prod\limits_{i=2}^{n}(a_i+b_1)\cdots\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_i+b_1)\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\\prod\limits_{i=2}^{n}(a_i+b_n)\cdots\prod\limits_{i=1}^{n-1}(a_i+b_n)} \end{array}\right| &=\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} b_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} b_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_n^{n-1}} \end{array}\right|\left|\begin{array}{}{\prod\limits_{k=1,k\ne 1}^{n}{a_k} \hspace{4 mm} \prod\limits_{k=1,k\ne 2}^{n}{a_k} \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}\prod\limits_{k=1,k\ne n}^{n}{a_k}\\ \vdots\hspace{40 mm} \vdots \\ \sum\limits_{k=1,k\ne 1}^{n}{a_k} \hspace{4 mm} \sum\limits_{k=1,k\ne 2}^{n}{a_k} \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}\sum\limits_{k=1,k\ne n}^{n}{a_k}\\1\hspace{20 mm}1\hspace{7 mm}\cdots\hspace{7 mm} 1} \end{array}\right| \\ &=\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} b_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} b_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_n^{n-1}} \end{array}\right|f(a_1\cdots a_n) \\ &=R_2(b_1\cdots b_n)\etiqueta{4} \end{align}

Ahora considere el $R_1-R_2$ como polinomio de $b_1\cdots b_n$. Desde $R_1-R_2=0$, los coeficientes de $b_1\cdots b_n$ $R_1$ deben ser iguales a los de $R_2$. Mediante la comparación de $(2)$$(4)$, tenemos $$ f(b_1\cdots b_n)=\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} b_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} b_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_n^{n-1}} \end{array}\right| $$ Así que a partir de $(1)$$(2)$, tenemos \begin{align} |A|&=\dfrac1{\prod\limits_{i,j=1}^{n}(a_i+b_j)}\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} a_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}a_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} a_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}a_n^{n-1}} \end{array}\right|\left|\begin{array}{}{1 \hspace{4 mm} b_1 \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_1^{n-1}\\ \vdots\hspace{20 mm} \vdots \\ 1 \hspace{4 mm} b_n \hspace{4 mm}\cdots\hspace{4 mm}b_n^{n-1}} \end{array}\right| \\ &=\dfrac{\prod\limits_{1\le i<j\le n} (a_j-a_i)\prod\limits_{1\le i<j\le n} (b_j-b_i)}{\prod\limits_{i,j=1}^{n}(a_i+b_j)} \end{align} En su caso $$ |A|=\dfrac{\prod\limits_{1\le i<j\le n} (j-i)^2}{\prod\limits_{i,j=1}^{n}(i+j)} $$

Answer 3

Considere la posibilidad de secuencia $A067689$ en el sitio web oeis.org . Esta secuencia consta de los recíprocos de las funciones de $n$ que usted busca. Estos lograr astronómico valores muy rápidamente. Por ejemplo, para $n=9$, la función se obtiene un valor de poco más de 50 quattourdecillion. ¿Por qué no estar satisfecho con la introducción de los primeros valores en una tabla y hacer referencia a ellos por lo tanto en vez de infligir sobre ti el dolor de cálculo?