Por favor, compruebe mi prueba. Gracias.
Prueba: $11,111,1111,...$ pueden escribirse como sigue $\underbrace{111...}_{\text{k times}}=1+10(\sum_{i=0}^{k-2}10^n)$
Supongamos $1+10(\sum_{i=0}^{k-2}10^n)=s^2$ donde $s\in\Bbb{Z}$ .
Entonces esto significa $s^2|1$ y $s^2|10$ . La única posibilidad $s^2$ es entonces $1$ .
Es evidente que $1$ no funciona. Esto significa que no hay $s$ tal que $1+10(\sum_{i=0}^{k-2}10^n)=s^2$ . Así que concluimos que ninguno de $11,111,1111,...$ son cuadrados de un número entero.
Edición: Una vez más... esta prueba es errónea. Por favor, mire las respuestas a continuación.
Intento correcto: Intentaré la inducción. Vemos que $11\cong3(\text{mod 4})$ . Ahora supongamos que $\underbrace{111...}_{\text{k times}}\cong3(\text{mod 4})$
Entonces para $\underbrace{111...}_{\text{k+1 times}}$ vemos que el último dividendo de la división larga es $31$ . Por lo tanto, el último dígito más grande posible es $7$ y $7\times4=28$ y $31-28=3$ . Por lo tanto, el resto es $3$ . Y así, $\underbrace{111...}_{\text{k+1 times}}\cong3(\text{mod 4})$ . Sin embargo, sabemos que los números cuadrados(mencionados a mí por https://math.stackexchange.com/users/279515/brahadeesh ) son $0$ o $1$ sur $\text{mod 4}$ . Por tanto, concluimos que todos ellos no pueden ser cuadrados perfectos.
