¿De cuántas formas distintas pueden emparejarse 64 jugadores?

Question

Supongamos que hay 64 jugadores en una arena. ¿De cuántas maneras pueden emparejarse los jugadores (es decir, 32 juegos diferentes)?

Creo que la respuesta sería: $$\frac{\prod_{n=0}^{31} {64-2n\choose 2}}{32!}$$

Sin embargo, no estoy seguro de que sea una expresión correcta, ¿alguien puede confirmarlo? Si lo es, ¿hay alguna expresión más sencilla que la que he proporcionado?

Answer 1

Tu respuesta es correcta, y no es difícil ver qué razonamiento te llevó a ella. Lo ideal sería que la expresión fuera acompañada de una justificación.

Hay otras expresiones para la respuesta.

Por ejemplo, pongamos a las personas en fila por orden alfabético, o por orden de estatura. Alicia puede elegir a su pareja en $63$ maneras. Para cada una de estas formas, la primera persona que aún no esté asociada puede elegir a su pareja en $61$ maneras. Y para cada una de esas formas, la primera persona que aún no tenga pareja puede elegir a su pareja en $59$ maneras. Y así sucesivamente. Esto da un recuento de $(63)(61)(59)\cdots(3)(1)$ . Si se prefiere (yo no) se puede escribir esto como $$\prod_{n=1}^{32} (2n-1).$$

O bien alinear el $64$ personas. Esto puede hacerse en $64!$ Ahora empareja a la primera persona con la segunda, a la tercera con la cuarta, y así sucesivamente. Por desgracia, este múltiplo cuenta el número de emparejamientos.

Hay dos razones para ello: (i) Cualquier elección de intercambios de $2k-1$ con $2k$ , $k=1$ a $32$ da los mismos emparejamientos. Para ajustar, dividir por el número de esos posibles emparejamientos, que es $2^{32}$ . (ii) Cualquier permutación del $32$ parejas da los mismos emparejamientos. Por lo tanto, debemos dividir por $32!$ . Se obtiene la expresión $$\frac{64!}{2^{32}\cdot 32!}.$$