¿Cómo se hace homología simplicial con $0, 1$ ¿coeficientes?

Question

Quiero sumas de enteros $\sum_{i=1}^n c_i z_i, z_i \in \Bbb{Z}$ con coeficientes en $\{0, 1\}$ . ¿Sólo afirmo que todos los coeficientes son siempre $0$ o $1$ o trabajo con $\Bbb{Z}[\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}]$ o trabajo con $\Bbb{Z}/(2)[\Bbb{Z}]$ ?

En particular, me gustaría seguir interpretando las sumas como elementos de $\Bbb{Z}$ que obviamente cubren $\Bbb{Z}$ . ¿Hay alguna forma de hacerlo?

Answer 1

Los funtores de homología funcionan con un coeficiente grupo . Es de suponer que cuando se habla de $0,1$ -coeficientes, quiere decir que está trabajando con el grupo (único) de dos elementos, para cuyos elementos utilizamos a menudo los nombres $0$ y $1$ pero que podría llamarse, por ejemplo, $e$ y $b$ .

Cuando se habla de "sumas de enteros con coeficientes en $\{0, 1\}$ No está claro si cada $z_i$ se supone que representa un $0$ -simplex en el grupo 0-cadena del espacio discreto que es del conjunto de los números enteros, o si se supone que es un verdadero número calculado sumando algo como $0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 9 = 14$ . Si es esto último, entonces aparentemente has decidido definir un emparejamiento de elementos de tu grupo de dos elementos $G$ con elementos de los números enteros, $\Bbb Z$ definido por $$ K:G \times \Bbb Z \to \Bbb Z : \begin{cases} (e, n) \mapsto 0 \\ (b, n) \mapsto n \end{cases} $$ Este emparejamiento es desafortunado, en el sentido de que no respeta la estructura de grupo. Si denotamos por $f_a$ el mapa $n \mapsto K(a, n)$ entonces $a \mapsto f_a$ es un mapa de $G$ en el homomorfismo de $\Bbb Z$ a sí mismo, que es otro grupo $G'$ . Por desgracia, el mapa $a \mapsto f_a$ es no un homomorfismo de $G$ a $G'$ . En resumen, al hacer esto, estás haciendo algo raro que no respeta las estructuras de grupo que deberías cuidar.

Basándome en el título, sospecho que la "suma" que has escrito es en realidad una "suma formal" de elementos en $\Bbb Z$ es decir $0$ -en el espacio topológico $\Bbb Z$ (olvídese de la estructura del grupo), con $G$ como su grupo de coeficientes. Pero es difícil de decir.