Resolver $3x\equiv 4\pmod 7$

Question

Estoy intentando aprender sobre congruencias lineales de la forma ax = b(mod m). En mi libro está escrito que si $\gcd(a, m) = 1$ entonces debe existir un número entero $a'$ que es un inverso de $a \pmod{m}$ . Estoy intentando resolver este ejemplo:

$$3x \equiv 4 \pmod 7$$

Lo primero que noté $\gcd(3, 7) = 1$ .

Por lo tanto, debe existir un número entero que sea el inverso multiplicativo de $3 \pmod 7$ .

Según el teorema de Bezout, si $\gcd(a, m) = 1$ entonces hay números enteros $s$ y $t$ tal que $sa+tm=1$

donde $s$ es la inversa multiplicativa de $a\pmod{m}$ .

Usando ese teorema:

$\begin{align}7 = 3\cdot2 +1\\7 - 3\cdot2 = 1 \\-2\cdot3 + 7 = 1\end{align}$

$s=-2$ en la ecuación anterior, de modo que $-2$ es la inversa de $3 \pmod{7}$ .

El libro dice que el siguiente paso para resolver $3x \equiv 4 \pmod{7}$ es multiplicar $-2$ en ambos lados.

Haciendo eso consigo:

$\begin{align}-2\cdot3x \equiv -2\cdot4 \pmod 7\\-6x\equiv -8 \pmod 7\end{align}$

¿Qué debo hacer después?

Llevo horas trabajando en este problema.

Gracias :)

Answer 1

$$\begin{align} 3x\equiv4\pmod{7} & (\text{Original equation})\\3x\equiv -3\pmod{7} &(\text{Replaced 4 with -3(by subtracting 7)})\\x\equiv-1\pmod{7}& (\text{Divide each side by 3})\\ x\equiv6\pmod{7} &(\text{replaced -1 with 6 (by adding 7))} \end{align}$$

P.S.- La razón por la que puedes sumar o restar $7$ es una de las propiedades de $\pmod{7}$ . Puede sumar o restar múltiplos de $7$ al número situado delante del $mod$ sin afectar a la ecuación.

Answer 2

$$3x\equiv4\pmod{7}\\-6x\equiv -8\pmod{7}\\-6x\equiv-1-7\\-6x\equiv-1\pmod{7}\\(7-6)x\equiv-1\equiv6\pmod{7}$$

Answer 3

Ha llegado a

$$-6x=-8\pmod{7}.$$

Ahora: $$-6x=-8\pmod{7} \underbrace{\iff}_{\mathrm{add}\: 7x=0\pmod{7}} 7x-6x=-8\pmod{7}\\ \iff x=-8\pmod{7}\underbrace{=}_{\mathrm{add}\: 14=0\pmod{7}}(2\cdot 7-8)\pmod{7}=6\pmod{7}.$$

Answer 4

Has obtenido

$$-2 \cdot 3x \equiv -8 \pmod{7}$$

Simplificar los rendimientos

$$-6x \equiv -8 \pmod{7}$$

Observe que $-6 \equiv 1 \pmod{7}$ y que $-8 \equiv 6 \pmod{7}$ . Así, obtenemos

$$x \equiv 6 \pmod{7}$$

Compruébalo: Si $x \equiv 6 \pmod{7}$ entonces $3x \equiv 3 \cdot 6 \equiv 18 \equiv 4 \pmod{7}$ .