Demostrar que las medianas de un triángulo son concurrentes

Question

Me preguntaba cómo demostrar el teorema de Euclides: Las medianas de un triángulo son concurrentes.

Mi trabajo hasta ahora:

En primer lugar mi interpretación del teorema es que si se traza un segmento de recta desde cada una de las medianas de los 3 lados hasta el vértice opuesto a él, se intersecan en un punto.

Como un triángulo tiene tres lados y cada lado debe tener una mediana, me imagino que al menos 2 de ellos tienen que intersecarse ya que las líneas no pueden ser paralelas.

¿Alguien puede explicarlo mejor? Gracias.

Answer 1

Esta es mi prueba corta de 1963:

En el triángulo ABC dibujar las medianas BE, y CF, que se encuentran en el punto G. Construir una línea de A a través de G, de tal manera que se cruza BC en el punto D.

Tenemos que demostrar que D biseca a BC, por lo tanto AD es una mediana, por lo tanto las medianas son concurrentes en G (el centroide).

Prueba:

Producir AD a un punto P debajo del triángulo ABC, tal que AG = GP.

Construir las líneas BP y PC.

Como AF = FB, y AG = GP, FG es paralelo a BP. (Euclides)

Análogamente, como AE = EC, y AG = GP, GE es paralela a PC

Por tanto, BPCG es un paralelogramo.

Puesto que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí (Euclides), por lo tanto BD = DC.

Por tanto, AD es una mediana. QED

Corolario: GD = AD/3.

Prueba:

Como AG = GP y GD = GP/2, AG = 2GD.

AD = (AG + GD) = (2GD + GD) = 3GD.

Por lo tanto, GD = AD/3. QED

Answer 2

Podría hacerlo utilizando Teorema de Tales . Lo siento si lo hice en un papel. Es muy difícil hacerlo en esta página.

Answer 3

He estado intentando responder a esta pregunta para un AS, utilizando sólo métodos ya mostrados en el libro de texto. Lo siento por la pésima letra, espero que sea legible.

Answer 4

Si conoces el Teorema de Ceva, aplícalo. Tenga en cuenta que si $ D,E$ y $F$ son los puntos medios de los lados, $AD/DB = BE/EC = CF/FA = 1$
Por lo tanto se demuestra por la inversa del Teorema de Ceva.