Cuando se $(2^a-1)$ una potencia de 3

Question

Estoy buscando para caracterizar los valores de $a\in\mathbb{Z}$ que $(2^a-1)$ es una parte integral de alimentación de 3. En particular, existen además de las $a=1,2$? Cualquier positiva/negativa de resultados sería muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Supongamos $3^b=2^a-1$ para algunos enteros $b,a$$a>2$. La reducción de mod $8$,$3^b\equiv-1$. Pero los únicos poderes de $3$ mod $8$ son fácilmente visto a $1$$3$, por lo que tenemos una contradicción.

Answer 2

Esas son las únicas soluciones, como se desprende de catalán de la Conjetura, demostrado por Mihailescu.