En un extremo, tenemos "es obvio que". En el otro, tenemos la lógica formal, en la que se demuestra que una afirmación es cierta si y sólo si se escribe una secuencia de símbolos especiales que obedezcan las reglas del sistema lógico. (Ignoremos las ideas de incompletitud godelianas, por interesantes y en última instancia importantes que sean).
La cuestión es si sabes o no que es posible ampliar sobre su explicación a reducir a una idea lógica más detallada que puedas reducir a otra idea... para acabar teniendo un argumento puramente lógico al final. Si no sabes cómo hacerlo sin basarte en afirmaciones que "son simplemente obvias" (aunque no pasa nada por basarse en un teorema que haya demostrado otra persona), entonces no has demostrado la afirmación y puede que te equivoques ¡!
Hay un gran número de paradojas en matemáticas que surgen precisamente por afirmar que algo es "obvio" sin entender cómo construirlo a partir de ideas elementales. Un ejemplo sencillo es la Problema de Monty Hall .
Como sabes, tu ejemplo tiene una prueba sensata, dadas las suposiciones naturales que uno hace al interpretar las palabras del problema:
Si no pueden, hay océano frente a toda la tierra, por lo que hay al menos tanto océano como tierra, una contradicción.
Esto es muchísimo mejor que "es obvio", pero es fácil de decir, ¡así que dilo en su lugar! La razón por la que es mejor es que es fácil de ampliar. Una versión más clara del mismo argumento sería:
Supongamos que no hay lugares posibles para túneles. Entonces $A_L$ sea la superficie del terreno. Sabemos que hay océano frente a toda esta área, por lo que el área del océano es $A_O \ge A_L$ . Pero entonces el área total de la esfera es $A = A_L + A_O \ge 2A_L$ contradiciendo la suposición de que $A_L > A/2$ .
Una versión aún más formal (no sé si conoces la integración, especialmente en espacios curvos, pero no importa demasiado si no la conoces -- piensa en ella como una formalización de la idea de área) podría ser algo así:
Definir una función $f: \text{planet} \to \{0,1\}$ tomando el valor $0$ en el océano y $1$ en la tierra. Suponemos que es una función integrable, y que $A_L = \int f > \frac{1}{2}\int 1 = \frac{1}{2}A$ . Defina $g(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}')$ la naturaleza del terreno en el punto $\mathbf{x}'$ frente a $\mathbf{x}$ . Queremos demostrar que $f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{x}) = 1$ para algunos $\mathbf{x}$ . Debemos suponer que $\int f = \int g$ ; es decir, no importa si cuentas la zona cercana a ti o la opuesta a ti mientras das la vuelta al planeta.
Ahora $\int (f + g) = 2\int f > A = \int 1$ . Pero $\int (f + g - 1) > 0$ es imposible a menos que $f + g - 1 > 0$ en alguna parte, lo que significa que $f(\mathbf{x}) = g(\mathbf{x}) = 1$ en alguna parte.
Esto se basa en teoremas estándar muy sencillos sobre la integración y nada más.
Obsérvese que en la presentación formal se aclara una suposición oculta necesaria para el cálculo: necesitamos que el área signifique lo mismo en el lado "opuesto" del planeta. Este es el aspecto impar $\int f = \int g$ suposición. He aquí un estúpido contraejemplo (en sección transversal/una dimensión menos) que explota esto de otro modo:
![enter image description here]()
Si tienes una colina muy grande, entonces tiene mucha superficie pero enfrente sólo hay una pequeña cantidad de océano, lo que significa que puedes evitar poder construir un túnel.
Por supuesto, ahora que alguien señala esto es obvio (y los matemáticos se vuelven muy buenos revisando su intuición para hacer frente a nuevos descubrimientos como este), pero formalizarlo más puntos mucho a entender lo que está diciendo mucho más cuidadosamente. Realmente, ¡el problema original no es correcto tal y como está planteado! Tenemos que suponer que la superficie del planeta tiene una simetría bajo inversión a través del centro .
Este es el poder de formalizar tus argumentos. A menudo descubrirás cosas que habías pasado por alto. Y no siempre son tan fáciles de entender como estos ejemplos.
