Definición de cociente de álgebras sigma

Question

Sea $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espacio de medidas. Sea $I$ ser algo $\sigma$ -ideal en $(\Omega,\mathcal{A})$ es decir, contiene el conjunto vacío y contiene subconjuntos y uniones contables de sus elementos.

¿Cómo se define $\Omega/ I$ ? ¿Y cómo se definen las clases de equivalencia?

Sólo estoy familiarizado con el espacio cociente de espacios vectoriales, pero no con ese caso general. Cualquier literatura es bienvenida también.

Answer 1

En el contexto de la teoría de grupos estándar, $G/H$ son las clases de equivalencia de la relación $a\cdot b^{-1}\in H$ (considérelos aquí como cosets derechos). Si el grupo es abeliano, significa simplemente que $a-b\in H$ y los cosets son exactamente $a+H=\{a+b\mid b\in H\}$ .

En el caso de la teoría de anillos, también es así como definimos la relación de equivalencia definida por el ideal.

Tenga en cuenta que un $\sigma$ -de hecho cualquier álgebra de conjuntos, es un anillo de características $2$ con $\triangle$ diferencia simétrica, ya que la suma y la $\cap$ como la multiplicación.

Así que, naturalmente, $A\sim_I B$ sólo si $A\mathbin{\triangle} B\in I$ . Y la clase de equivalencia de $A$ es $[A]_I = \{A\mathbin{\triangle} X\mid X\in I\}$ .