¿Cuál es el límite de dada la serie?

Question

Halla el límite de esta serie.

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n {{i \sqrt{n^2 - i^2}} \over n^3}$

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He aquí mi intento)

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n ({i \over n})\sqrt {{1- {({i \over n})^2}}}$

\= $\int_0^1 xi \sqrt{1-(ix)^2}$

\= $\int_0 ^1 xi \sqrt{1+x^2}$

\= $i$ [ ${1 \over 3}(1+x^2)^{3\over2} $ ] $_{0} ^ 1$

\= $i \over 3$ $(2 ^ {3 \over 2} -1)$

Pero la respuesta fue $1 \over 3$ . No sé en qué punto tengo un error.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

En $\sqrt{\dfrac1{n^2}}=\dfrac1n$ para $n>0,$

$$\dfrac{i\sqrt{n^2-i^2}}{n^3}=\dfrac1n\cdot\dfrac in\sqrt{1-\left(\dfrac in\right)^2}$$

Ahora usa El límite de una suma $\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$ y sustituir $\sqrt{1-x^2}=y\implies1-x^2=y^2$

Answer 2

Es $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{i=1}^n\left(\frac{i}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}\frac{1}{n}\right)=\int_0^1x\sqrt{1-x^2}dx=\frac{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}\cdot(-2)}|_0^1=\frac{1}{3}.$$

Answer 3

Si $b=1,a=0$

$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left(\dfrac{i}{n}\right)\tag{1}$$

Así que para convertir este límite $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i\sqrt{n^2-i^2}}{n^3}$ en forma de ecuación $(1)$ lo reescribimos de la siguiente manera:-

$$\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i}{n}\sqrt{1-\dfrac{i^2}{n^2}}$$

Así que podemos decir $f\left(\dfrac{i}{n}\right)=\dfrac{i}{n}\sqrt{1-\dfrac{i^2}{n^2}}$

Sustitución de $\dfrac{i}{n}$ con $x$

$$f(x)=x\sqrt{1-x^2}$$

$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx$$

$$1-x^2=t$$ $$-2x=\dfrac{dt}{dx}$$ $$xdx=-\dfrac{dt}{2}$$

$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\dfrac{1}{2}\cdot\int_{0}^{1}t^\frac{1}{2}dt$$

$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\dfrac{1}{3}$$

Espero que te ayude a entender por qué las integrales son útiles en estos casos.