Producto cartesiano infinito: Entendiendo

Question

Me cuesta un poco entender la definición del producto cartesiano infinito, sobre todo la intuición que hay detrás.

Según mi libro de texto, Enderton's Elementos de teoría de conjuntos el producto cartesiano infinito toma el producto cartesiano de cada conjunto $X_i$ para $i \in I$ . Esta idea tiene sentido para mí, pero la definición de $$\prod_{i \in I} X_i = \left\{\left. f: I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ \right|\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\right\}$$ no lo hace.

Por ejemplo, si hago una función $X = \{(1,\{2\}), (2,\{3\}), (3, \{4\})\}$ donde $X_1 = \{2\}$ , $X_2 = \{3\}$ y $X_3 = \{4\}$ si tomo el producto cartesiano de ellos, ¿no obtengo $(2,3,4)$ ? ¿Cómo es esto una función y cómo se relaciona con la definición?

Soy muy consciente de que lo más probable es que mi malentendido provenga de un conocimiento inadecuado de los productos cartesianos, y de que mi ejemplo puede ser incorrecto. Si es así, por favor, ¡háganme saber qué conceptos erróneos puedo tener para que pueda crecer y aprender!

Answer 1

Si $X_1=\{2\}$ , $X_2=\{3\}$ y $X_3=\{4\}$ entonces por esta definición $X_1\times X_2\times X_3$ es el conjunto de funciones $f$ del conjunto de índices $\{1,2,3\}$ a $X_1\cup X_2\cup X_3=\{2,3,4\}$ tal que $f(1)\in X_1$ , $f(2)\in X_2$ y $f(3)\in X_3$ . Resulta que sólo existe una función de este tipo:

$$f=\{\langle 1,2\rangle,\langle 2,3\rangle,\langle 3,4\rangle\}\;,$$

para que $f(1)=2$ , $f(2)=3$ y $f(3)=4$ y $X_1\times X_2\times X_3=\{f\}$ .

No solemos utilizar esta definición para los productos cartesianos de conjuntos finitos; según la definición más conocida tendríamos

$$X_1\times X_2\times X_3=\{\langle 2,3,4\rangle\}\;,$$

un conjunto con un miembro, el triple ordenado $\langle 2,3,4\rangle$ . Pero la diferencia es sobre todo cosmética. La triple ordenada con la que está familiarizado es simplemente una forma de especificar a qué conjunto de factores pertenece cada componente: si $\langle x_1,x_2,x_3\rangle\in X_1\times X_2\times X_3$ sabemos que $x_1\in X_1$ , $x_2\in X_2$ y $x_3\in X_3$ . Las funciones en la definición de Enderton 1 hacen lo mismo: asocian un elemento de cada conjunto de factores con un identificador de ese conjunto, a saber, su índice, de modo que aunque todos los factores sean el mismo conjunto, podemos saber qué "componente" procede de qué factor. Puede que notes que cuando escribimos una triple ordenada como $\langle x_1,x_2,x_3\rangle$ en realidad estamos haciendo lo mismo, aunque en un formato ligeramente diferente, que escribiéndolo $\langle x(1),x(2),x(3)\rangle$ como si fuera una lista ordenada de las salidas de alguna función $f$ en el conjunto de índices $\{1,2,3\}$ .

En realidad, hay varias formas de definir los triples ordenados, y una de ellas es precisamente la definición de Enderton de los elementos de un producto cartesiano: según esa definición, el triple ordenado $\langle 2,3,4\rangle$ es la función $f$ arriba. Si uno está usando esa definición de triple ordenado, no hay literalmente ninguna diferencia entre los productos cartesianos con finitamente muchos factores que has visto antes y estos con infinitamente muchos factores.

También es probable que hayas visto algunos productos cartesianos infinitos en otro entorno: el producto $\Bbb R^{\Bbb N}$ es decir, $\prod_{n\in\Bbb N}X_n$ donde cada $X_n=\Bbb R$ no es más que el conjunto de secuencias infinitas de números reales: cada $x\in\Bbb R^{\Bbb N}$ es una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle=\langle x_0,x_1,\ldots\rangle$ de los números reales, que formalmente es simplemente una función

$$x:\Bbb N\to\Bbb R:n\mapsto x_n\;.$$

También podríamos escribir los términos de la secuencia $x(n)$ destacando la naturaleza funcional de la secuencia como elemento de un producto cartesiano, en lugar de como $x_n$ . En cualquier caso, el $n$ identifica el factor $X_n$ del producto, el factor a partir del cual el término $x_n$ ou $x(n)$ viene.

1 En realidad no es la definición de Enderton: es la estándar.

Answer 2

Ok, veamos tu ejemplo. Si $X_1 = \{2\}$ , $X_2 = \{3\}$ y $X_3 = \{4\}$ entonces $\bigcup_{i=1}^3 X_i = \{2,3,4\}$ . Así, $\prod_{i=1}^3 X_i$ es (por definición) $$\{f : \{1,2,3\} \to \{2,3,4\} \mid \forall i \in \{1,2,3\} (f(i) \in X_i)\}.$$ Es importante destacar que el conjunto $X = \{(1,\{2\}), (2, \{3\}), (3,\{4\})\}$ que escribiste es pas ¡un ejemplo de un elemento de este producto cartesiano! Deberías repasar la definición de función: cada elemento de una función es un par ordenado, donde la primera cosa en el par ordenado es un elemento del dominio de la función, y la segunda cosa en el par ordenado es un elemento del codominio de la función. La cuestión aquí es que el $(1,\{2\})$ (por ejemplo) no es un par de este tipo: lo primero en este par ordenado ( $1$ ) es efectivamente un elemento del conjunto de indexación $\{1,2,3\}$ pero la segunda cosa en este par ordenado ( $\{2\}$ ) es pas un elemento del codominio $\bigcup_{i=1}^3 X_i = \{2,3,4\}$ (es un subconjunto de $\{2,3,4\}$ Pero, claro, no es lo mismo).

El producto cartesiano de estos tres conjuntos se escribiría (de forma abreviada) como $\{(2,3,4)\}$ ( pas sólo el elemento $(2,3,4)$ ), pero, por supuesto, la definición técnica que has dado dice que el producto cartesiano es en realidad un conjunto de funciones. El conjunto real de funciones $\prod_{i=1}^3 X_i$ seguirá teniendo exactamente un elemento, y $(2,3,4)$ es sólo una abreviatura de este elemento único (que es una función).

¿Puedes intentar escribir con más precisión qué es esta función, como un conjunto de pares ordenados?