Análisis real Cómo demostrar las propiedades de los logaritmos naturales y las integrales

Question

Esta es la pregunta que intento responder:

Sea $f:[0,1] \to\Bbb R$ sea una función integrable de Riemann con $f \ge c>0$ . Demostrar que $$\int_0^1\ln(f(x))\ dx\le \ln\left(\int_0^1 f(x)\ dx\right).$$

Comprendo cómo demostrar que dos integrales son iguales mostrando que sus sumas de Darboux superior e inferior son iguales y que convergen a la misma integral definida. Pero, no entiendo cómo demostrar la parte menor o igual que.

Algunas ideas que he pensado son: integración por partes, integrales impropias, particiones.

¿Alguien sabe cómo demostrarlo?

Answer 1

La desigualdad de Jensen se cumple para un intervalo $[a,b]$ una función integrable no negativa $f$ de $[a,b]$ a la línea real y a función convexa $\varphi$ y dice: $$\varphi\left(\int_a^bf(x) dx\right)\leq \int_a^b\varphi\left(f(x)\right)dx.$$ Esto no se aplica al $\log(x)$ porque es cóncavo lejos de cero, pero esto significa que la función $(-\log(x))$ es convexo de cero. Aplicando la de Jensen: $$-\log\left(\int_a^bf(x) dx\right)\leq -\int_a^b \log\left(f(x)\right)dx,$$ que da como resultado $$\int_a^b \log\left(f(x)\right)dx \leq \log\left(\int_a^bf(x) dx\right).$$ Cero no es un punto problemático debido a sus suposiciones sobre $f$ .