¿Existe una clasificación conocida de los grupos de permutaciones regulares sin multiplicidad?

Question

La pregunta está en el título, pero permítanme aclarar la terminología. Considero un grupo de permutaciones $\Sigma\subseteq\mathrm{Sym}(\Omega)$ en un conjunto finito $\Omega$ .

• $\Sigma$ es regular si actúa transitiva y libremente sobre $\Omega$ es decir, para dos $i,j\in \Omega$ existe un único $\sigma\in\Sigma$ con $\sigma(i)=j$ .
• $\Sigma$ es sin multiplicidad si su carácter de permutación (el carácter de la representación lineal de $\Sigma$ mediante matrices de permutación) es la suma de distinto caracteres irreducibles.

Algunos ejemplos son los grupos de permutación generados por una única permutación cíclica.

Answer 1

Son los grupos de permutaciones regulares abelianos. El carácter de permutación en este caso es el carácter de la representación regular y en la representación regular aparece un carácter con multiplicidad igual a la dimensión de la representación irreducible. Por tanto, puede ser libre de multiplicidad si todos los irreducibles son unidimensionales, lo que equivale a abeliano.