La transformada inversa de Laplace de $e^{-z}\textrm{Ei}(z)z^{-1}\log(z).$

Question

Para un trabajo necesito evaluar la siguiente integral: $$\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{uz}e^{-z}\textrm{Ei}\left(z\right)z^{-1}\log\left(z\right)dz,\ c>0,\,u>2$$ donde $\mathrm{Ei}\left(z\right)$ es la función integral exponencial . Sé que $$\mathfrak{L}^{-1}\left(z^{-1}\log\left(z\right)\right)\left(u\right)=(-\log\left(u\right)-\gamma)1_{u>0}$$ donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni así que mi idea era encontrar la transformada inversa de Laplace de $e^{-z}\textrm{Ei}\left(z\right)$ y luego utilizar el teorema de convolución. He descubierto que $$e^{-z}\textrm{Ei}\left(z\right)=PV\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-uz}}{1-u}du\tag{1}$$ así que mi pregunta es:

¿Puedo utilizar el teorema de convolución aunque la integral en $(1)$ sólo existe en el sentido de la Valor principal de Cauchy ? En otras palabras, ¿puedo escribir $$\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}e^{uz}e^{-z}\textrm{Ei}\left(z\right)z^{-1}\log\left(z\right)dz=PV\int_{0}^{u}\frac{\log\left(t\right)+\gamma}{u-t-1}dt?$$

No sé si es una propiedad estándar o es una idiotez. He buscado en mis libros de texto pero no he encontrado nada parecido. Gracias por su tiempo.

Answer 1

$\because\mathcal{L}_{z\to t}^{-1}\left\{\dfrac{\textrm{Ei}(z)\ln z}{z}\right\}$

$=\mathcal{L}_{z\to t}^{-1}\left\{\dfrac{\gamma\ln z}{z}+\dfrac{\ln^2z}{z}+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{z^{n-1}\ln z}{n!n}\right\}$ (según https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral#Convergent_series )

$=\mathcal{L}_{z\to t}^{-1}\left\{\dfrac{\gamma\ln z}{z}+\dfrac{\ln^2z}{z}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{z^n\ln z}{(n+1)!(n+1)}\right\}$

Contiene el término $\ln z$

Answer 2

Tu derivación es correcta y puede hacerse rigurosa mediante el uso de distribuciones. Si $$(f, \phi) = \int_0^\infty (-\ln u - \gamma) \phi(u) du, \\ (g, \phi) = \operatorname{v.\!p.} \int_0^\infty \frac {\phi(u)} {1 - u} du$$ ( $f$ no es más que una distribución regular), entonces $$\mathcal L[f] = \frac {\ln z} z, \\ \mathcal L[g] = e^{-z} \operatorname{Ei}(z), \\ \mathcal L[f * g] = \frac {\ln z} z e^{-z} \operatorname{Ei}(z).$$ La convolución se define como $$(f * g, \phi) = (f \otimes g, (x,y) \mapsto \phi(x + y)) = \\ (f, x \mapsto (g, y \mapsto \phi(x + y))).$$ $f*g$ es una función que puede identificarse con la función ordinaria $h(u)$ definido por su fórmula en cualquier intervalo que no contenga $u = 1$ .

Además, la transformada inversa existe en el sentido de las funciones ordinarias, lo que significa que $f*g$ no tiene una componente singular, y esto también se cumple: $$\mathcal L[h] = \frac {\ln z} z e^{-z} \operatorname{Ei}(z).$$ $h(u)$ tiene una singularidad del orden $\ln^2$ en $u = 1$ .