Estoy leyendo la obra de Klaus Janich Topología y en la página 20, demuestra la compacidad de I=[0,1] así:
"Es bien sabido que por cada tapa abierta de $[0, 1]$ existe un "número de Lebesgue", es decir, un $\delta > 0$ tal que cada subintervalo de longitud $\delta$ se encuentra en uno de los conjuntos de la cubierta. (Si no existiera tal número, se podría elegir una secuencia $(I_n)_{n>=1}$ de subintervalos $I_n \subset [0,1]$ con longitud $1/n$ ninguno de los cuales está contenido en ninguno de los conjuntos de la cubierta. Debe existir una subsecuencia de la secuencia de puntos medios del $I_n$ convergiendo a un $x \in [0,1]$ pero como $x$ está en algún conjunto de la cubierta, obtenemos una contradicción para $n$ grande). Ahora bien, como $[0, 1]$ puede estar cubierto por un número finito de intervalos de longitud $\delta\$ también puede estar cubierto por un número finito de conjuntos de la cubierta abierta".
Pero ¿no se necesita la compacidad para argumentar que "Debe existir una subsecuencia de la secuencia de puntos medios de la $I_n$ convergiendo a un $x \in [0,1]$ "? ¿Por qué habría de ser así si aún no hemos establecido la compacidad? En la prueba habitual de Heine-Borel cada $I_n$ yace en el interior $I_{n-1}$ , pero no creo que Janich quiera decir eso, porque entonces no habría escrito "subsecuencia de la secuencia de puntos medios" - si el $I_n$ están anidados, no se necesita una subsecuencia, toda la secuencia converge.
¿Es la prueba defectuosa o, más probablemente, me estoy perdiendo algo obvio?
