Dudas sobre esta identidad amablemente integral con función suelo

Question

Estoy tratando de probar por $f:(a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función continua y estrictamente decreciente, con $\displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=\infty$ Eso: $$ \int_a^b (-1)^{\left \lfloor f(x) \right \rfloor}\mathrm dx=(-1)^{\left \lceil f(b) \right \rceil -1}b +2\sum_{n=\left \lceil f(b) \right \rceil}^\infty (-1)^{n}f^{-1}(n)$$ donde $\left \lfloor m \right \rfloor$ y $\left \lceil m \right \rceil$ son suelo y techo función de $m$ respectivamente. Intuitivamente, comienzo con la sustitución $f(x)=y$ y luego:

$$ \int_a^b (-1)^{\left \lfloor f(x) \right \rfloor}\mathrm dx=\int_{f(a)}^{f(b)} (-1)^{\left \lfloor y \right \rfloor}\left[f^{-1}(y)\right]'\mathrm dy= -\int_{f(b)}^{\infty} (-1)^{\left \lfloor y \right \rfloor}\left[f^{-1}(y)\right]'\mathrm dy$$

Aquí tengo problemas para desarrollar la última integral y lo que sé es que necesito sumar integrales sobre algún intervalo que para mí sigue siendo un misterio. Gracias por alguna aclaración.

Answer 1

Dado que la función suelo no es continua (y mucho menos diferenciable), parece más prometedor empezar dejando que $x_n=f^{-1}(n)$ para todos los naturales $n\ge n_0:=\lceil f(b)\rceil$ . Entonces $\{x_n\}_n$ es una secuencia en $(a,b]$ y estrictamente decreciente a $a$ . Como el integrando es constante a trozos, tenemos $$ \int_{x_{n_0}}^b(-1)^{\lfloor f(x)\rfloor}\,\mathrm dx = \int_{x_{n_0}}^b(-1)^{\lfloor f(b)\rfloor}\,\mathrm dx =(b-x_{n_0})(-1)^{\lfloor f(b)\rfloor} =(-1)^{n_0}(x_{n_0}-b)$$ y para $n\ge n_0$ , $$ \int_{x_{n+1}}^{x_{n}}(-1)^{\lfloor f(x)\rfloor}\,\mathrm dx=\int_{x_{n+1}}^{x_{n}}(-1)^{n}\,\mathrm dx=(-1)^n(x_{n}-x_{n+1}).$$ Por suma y telescopio, $$\begin{align}\int_{x_{N+1}}^{b}&=(-1)^{n_0}(x_{n_0}-b)+\sum_{n=n_0}^N(-1)^n(x_{n}-x_{n+1})\\ &=(-1)^{n_0+1}b+(-1)^{n_0}x_{n_0}+\sum_{n=n_0}^N(-1)^nx_{n}+\sum_{n=n_0+1}^{N+1}(-1)^nx_{n}\\ &=(-1)^{n_0+1}b+2\sum_{n=n_0}^N(-1)^nx_{n}+(-1)^{N+1}x_{N} \end{align}$$ Supongamos que $a=0$ por el momento. Entonces, si tomamos el límite como $N\to\infty$ del lado derecho anterior, llegamos a $$ (-1)^{n_0+1}b+2\sum_{n=n_0}^\infty(-1)^nx_{n}$$ donde la serie converge por el criterio de Leibniz, mientras que al mismo tiempo el lado izquierdo converge a la integral impropia de $a$ à $b$ según se desee.

En el caso general, cuando $a\ne 0$ la serie no converge, mientras que la integral impropia sí. Podemos ajustarlo: Definir $g\colon (0,b-a]\to \Bbb R$ , $g(x)=f(x+a)$ haga lo mismo con $g$ . Podemos entonces expresar el resultado en términos de $f$ y tenga en cuenta que la reclamación original tiene que ajustarse para tener $(-1)^n(f^{-1}(n)-a)$ en lugar de $(-1)^nf^{-1}(n)$ como sumando de series.