Demostrar que una cubierta completa de un intervalo [a, b] tiene una partición finita

Question

El siguiente es un ejercicio del Análisis Real de Bruckner:

Sólo tengo un problema con el punto (d). Por supuesto, uno puede usar el teorema de Heine-Borel primero contrayendo todos los intervalos a escala 9/10, luego eliminando los puntos finales para formar una cubierta abierta, luego encontrando una cubierta finita eliminando el interior de la intersección de los intervalos (usando la definición de cubierta completa), luego añadiendo los puntos finales para resolver el punto (d). Pero el ejercicio quiere utilizar la pista, especialmente cuando más adelante en el libro pide demostrar el teorema de Heine-Borel basado en el punto (d). No tengo ni idea de cómo utilizar la pista para resolver el ejercicio. Por favor, ayúdame, ¡gracias!

Definición : Sea $\mathcal{I}$ sea la familia de intervalos cerrados no degenerados en $\mathbb{R}$ . Sea $E \subset \mathbb{R}$ y que $\mathcal{V} \subset \mathcal{I}$ . Si para cada $x \in E$ y $ > 0$ existe $V \in \mathcal{V}$ tal que $x \in V$ y $(V) < $ entonces $\mathcal{V}$ se denomina cubierta de Vitali para $E$ . El ejercicio define cobertura total análogamente.

Answer 1

Insistamos en que todas las particiones que mencionamos son finitas y que los intervalos pueden solaparse en los puntos extremos según el libro. Obsérvese que es imposible cubrir disjuntamente un intervalo con un número finito de intervalos cerrados.

Sea $A$ sea el conjunto considerado en la Sugerencia. Necesitamos demostrar las siguientes afirmaciones 1) Para cada elemento $x\in A$ avec $x<b$ hay $y\in A,x<y$ 2) $\sup{A} \in A$

1. Para $x\in A$ podemos encontrar $\epsilon>0$ tal que $[x,x+\epsilon]$ está en la portada completa. Dada una partición de $[a,x]$ podemos añadir $[x,x+\epsilon]$ para obtener una partición de $[a,x+\epsilon].$

2. Existe $\epsilon >0$ tal que $\forall \delta < \epsilon, [\sup{A}-\delta,\sup{A}]\in W.$ Elige $x\in A$ tal que $\sup{A}-x<\epsilon.$ Entonces, $[a,x]$ tiene una partición que podemos ampliar con $[x,\sup{A}].$ Por lo tanto $\sup{A}\in A.$

Juntos, 1) y 2) nos dicen que $\sup{A}=b$ y por lo tanto $[a,b]$ tiene una partición como se desea.

Answer 2

Respondiendo al punto (d). Podemos utilizar una pista más sencilla.

Sea $\mathcal{W}$ ser una portada completa de $[a,b]$ .

Sea $A = \{ x\in (a,b]: \text{ there is a finite partition of } [a, x] \text{ using members of } \mathcal{W} \}$ .

1. $A \ne \emptyset$ . De hecho $[a,c]$ (con $c>a$ ) sea un intervalo suficientemente pequeño que contenga $a$ para que $[a,c] \in \mathcal{W}$ . Entonces $c \in A$ porque $[a,c]$ es una partición finita trivial de $[a,c]$ .

2. $\sup A \in A$ . Sea $s= \sup A$ y que $\{x_n\}_n$ sea una secuencia creciente de elementos en $A$ tal que $x_n \nearrow s$ . Entonces $k$ tal que $(x_k, s]$ es un intervalo suficientemente pequeño que contiene $s$ para que $(x_k,s] \in \mathcal{W}$ . Desde $x_k \in A$ existe una partición finita de $ [a, x_k] $ utilizando miembros de $\mathcal{W}$ . Añadir $(x_k,s]$ a dicha partición, tenemos una partición finita de $ [a, s] $ utilizando miembros de $\mathcal{W}$ . Así que $s \in A$ .

3. $\sup A = b$ . Sea $s= \sup A$ . Clealy $s \leq b$ . Supongamos que $s<b$ . Luego está $d$ tal que $s<d<b$ y $[s, d]$ es un intervalo suficientemente pequeño que contiene $s$ para que $[s,d] \in \mathcal{W}$ . Desde $s \in A$ existe una partición finita de $ [a, s] $ utilizando miembros de $\mathcal{W}$ . Añadir $[s,d]$ a dicha partición, tenemos una partición finita de $ [a, d] $ utilizando miembros de $\mathcal{W}$ . Así que $d \in A$ . Contradicción porque $s = \sup A$ y $s< d$ . Así que debemos tener $s=b$ es decir $\sup A = b$ .

Así que $b \in A$ lo que significa que existe una partición finita de $ [a, b] $ utilizando miembros de $\mathcal{W}$ .

Observación : Al formar una partición, se permite que los intervalos se solapen en los puntos extremos. Y esto se utiliza en 3.