¿Cómo puedo mostrar $\int_0^\infty \frac{x}{(x+1)^2}dx$ diverge

Question

Lo hice $$\int_0^\infty \frac{x}{(x+1)^2}dx=\int_0^\infty \frac{1}{(x+2+\frac1x)}dx\le\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$$ pero $\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$ diverge. Así que mi lógica falla.

Answer 1

También puedes demostrarlo evaluando la integral:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x=\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x=$$ $$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right]\space\text{d}x=\lim_{n\to\infty}\left[\int_{0}^{n}\frac{1}{x+1}\space\text{d}x-\int_{0}^{n}\frac{1}{(x+1)^2}\space\text{d}x\right]=$$

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Sustituir $u=x+1$ y $\text{d}u=\text{d}x$ .

Esto da un nuevo límite inferior $u=0+1=1$ y límite superior $u=n+1$ :

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$$\lim_{n\to\infty}\left[\int_{1}^{n+1}\frac{1}{u}\space\text{d}u-\int_{1}^{n+1}\frac{1}{u^2}\space\text{d}u\right]=\lim_{n\to\infty}\left[\left[\ln(u)\right]_{1}^{n+1}+\left[\frac{1}{u}\right]_{1}^{n+1}\right]=$$ $$\lim_{n\to\infty}\left[\ln(1)-\ln(n+1)+\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[0-\ln(n+1)+1-\frac{1}{n+1}\right]=$$ $$\lim_{n\to\infty}\left[1-\frac{1}{1+n}-\ln(1+n)\right]\space\to-\infty$$