¿Cómo puedo mostrar $\int_0^\infty \frac{x}{(x+1)^2}dx$ diverge

Question

Lo hice $$\int_0^\infty \frac{x}{(x+1)^2}dx=\int_0^\infty \frac{1}{(x+2+\frac1x)}dx\le\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$$ pero $\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$ diverge. Así que mi lógica falla.

Answer 1

$\begin{eqnarray}\int_0^\infty\frac{x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x&=&\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{x}{(x+1)^2}\mathrm{d}x\\&=&\left(\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t+1}+\log(t+1)\right)-1\\&=&\infty\end{eqnarray}$

Answer 2

Por el prueba de comparación de límites :

$$\frac{\frac x{(1+x)^2}}{\frac1x}=\frac{x^2}{(1+x)^2}\xrightarrow[x\to\infty]{}1$$

y por tanto nuestra integral converge si $\;\int\limits_1^\infty\frac{dx}x\;$ converge. Pero es fácil demostrar directamente que esta última integral diverge, al igual que la nuestra.

Obsérvese que para $\;\int\limits_0^1\frac x{(1+x)^2}dx\;$ no hay ningún problema, ya que se trata de un itnegral de Riemann estándar de una función continua en $\;[0,1]\;$

Answer 3

Puede dividir la fracción $\dfrac{x}{(1+x)^2}$ en dos partes: $\dfrac{x}{(1+x)^2} = \dfrac{1}{1+x} - \dfrac{1}{(1+x)^2}$ . La primera integral $\displaystyle \int_{0}^\infty \dfrac{1}{1+x}dx$ diverge mientras que la segunda integral $\displaystyle \int_{0}^\infty \dfrac{1}{(1+x)^2}dx$ converge, por lo que la integral dada diverge.

Answer 4

Sea $c$ sea el límite superior de la integral y tomemos el límite como $c$ llega hasta el infinito.

$$I = \int_0^\infty \frac{x}{(x+1)^2}dx = \lim_{c \rightarrow \infty} \int_0^c \frac{x}{(x+1)^2}dx.$$

A continuación, calcular la integral definida como normal;

$$I = \lim_{c \rightarrow \infty}\int_0^c \frac{x}{(x+1)^2} = \lim_{c\rightarrow\infty}\left[\log(x + 1) - \frac{1}{x+1}\right]_0^c = 1 + \lim_{c \rightarrow \infty} \left(\log(c+1) - \frac{1}{c+1}\right).$$

El logaritmo diverge a medida que su argumento se hace arbitrariamente grande y el $\frac{1}{c+1}$ desaparece. Por lo tanto,

$$\lim_{c \rightarrow \infty} \int_0^c \frac{x}{(x+1)^2}dx = \infty$$

y concluimos que $I$ diverge.

Answer 5

Tenemos para $x\ge 1$ y arbitraria $\varepsilon > 0$

$\frac{x}{(x+1)^2} > \frac{x+\varepsilon}{(x+\varepsilon+1)^2}$ .

Esto da

$\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x\\ =\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n+1}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x\\ =\int_{0}^{1}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x +\lim_{n\to\infty}\int_{1}^{n+1}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x\\ =(log(2)-1/2) +\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{x}{(x+1)^2}\space\text{d}x\\ > (log(2)-1/2) +\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{(k+2)^2} = \infty.$

Donde estimamos crudamente la integral desde abajo y utilizamos la serie armónica para el último paso.