La functorialidad de la estructura del álgebra del grupo C*

Question

Sea $G$ y $H$ sean grupos discretos y $f:G \rightarrow H$ sea cualquier homomorfismo de estos grupos. Tengo tres preguntas al respecto:

1) Cómo demostrar la functorialidad de la construcción de universales $C^*$ -de álgebra discreta (la existencia de homomorfismo inducido $C^*(G) \to C^*(H)$ )?

2) Cómo demostrar que la construcción de reducidos $C^*$ -¿el álgebra de grupo discreto no es functorial (me interesan especialmente los contraejemplos) y en qué caso (me refiero a las condiciones para el homomorfismo de grupo) será functorial?

3) Consideremos el caso en que $G = \mathbb{Z}$ (números enteros) y $H = \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}$ . Cómo describir el núcleo y la imagen del homomorfismo inducido de grupo $C^*$ -¿álgebras?

Answer 1

En cuanto a Q2: la reducción $C^\star$ -es functorial respecto a homomorfismos con núcleos susceptibles. En efecto, sea $N$ sea un subgrupo normal y amenable de $G$ ya que la representación trivial de $N$ está débilmente contenida en la representación regular de $N$ (por amenidad), por continuidad de inducción la representación regular de $G/N$ está débilmente contenida en la representación regular de $G$ lo que significa que el $C^\star$ -de $G$ se corresponde con la de $G/N$ .

Answer 2

En realidad, no estoy muy seguro de dónde se explica esto por completo básicamente en la literatura. Así que tal vez aquí hay una pista, al menos para Q1. El definición de $C^*(G)$ es que es la terminación de L^1(G) con respecto a la mayor C*-norma. Así que si $\phi:G\rightarrow H$ es un homo de grupo continuo, obtenemos inmediatamente un * -homorfismo $\ell^1(G) \rightarrow \ell^1(H)$ por lo que, por inclusión, a * -homo $\ell^1(G) \rightarrow C^*(H)$ . Pero esto define alguna norma C* en $\ell^1(G)$ por lo que la norma sobre $C^*(G)$ debe dominarla, y por tanto obtenemos una extensión continua a $C^*(G) \rightarrow C^*(H)$ .

Para Q2, encuentre una prueba en la literatura (¿creo que esto se remonta a Godemont?) de que $C^*_r(G) = C^*(G)$ si y sólo si la representación regular izquierda contiene la representación trivial, si y sólo si G es amenable. Dicho de otro modo, si G no es susceptible, entonces el homomorfismo trivial $G\rightarrow\{1\}$ no induce un mapa $C^*_r(G)\rightarrow C^*(\{1\}) = \mathbb C$ .