Determinar si estas integrales convergen o divergen.

Question

C.T. es prueba de comparación

TIPO II es cuando una integral impropia es impropia pero no a $\infty$ .

a)

$$\int_{1}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x^2}dx$$

Sea g(x) = $\frac{1}{x^2}$ porque $|sin(\frac{\pi}{x})| \leq 1$ . Puesto que el numerador se ha maximizado y el denominador se ha minimizado y también sabemos que g(x) es claramente siempre positivo, entonces se ajusta a la Definición CT de $$0 \leq f(x) \leq g(x)$$

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$$ Siempre converge.

Desde $\int_{1}^{\infty} g(x)dx$ converge, entonces $\int_{1}^{\infty} f(x)dx$ converge por C.T

b) $$\int_{0}^{2} \frac{\sec^2 (x)}{x\sqrt{x}}dx$$

Sí, uhm no tengo ni idea. Estoy bastante seguro de que esto tiene muchas discontinuidades porque esto también se puede reescribir

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 (x) x \sqrt{x}}$ que es discontinua en x = 0 y x = $\frac{\pi}{2}$ . No creo que eso encaje con C.T., no sé cómo integrar esto así que no sé cómo usaría la definición de TIPO II en esto.

c) $\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^3+1} dx$

¿Podría dejar que $g(x) = \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$ y decir la misma conclusión que a)?

Lo siento mi libro de texto tiene poco o nada de preguntas sobre C.T. y no entiendo estos

Answer 1

Para el segundo problema, es correcto decir que $f(x)=\frac{\sec^2(x)}{x^{3/2}}$ presenta discontinuidades en $x=0$ y $x=\pi/2$ . Pero un par de discontinuidades por sí solas no hacen que una función no sea integrable. Sin embargo, estas discontinuidades son también singularidades de $f$ en $x=0$ y $x=\pi/2$ .

Para la singularidad en $x=0$ vemos que

$$f(x)\ge \frac{1}{x^{3/2}}$$

y $\int_0^2\frac{1}{x^{3/2}}\,dx$ diverge. Eso es suficiente para demostrar que la integral diverge.

Aparte, vemos que $\int_{1}^2f(x)\,dx$ también diverge, ya que el término $\sec^2(x)= \frac{1}{(x-\pi/2)^2}+O(1)$ como $x\to \pi/2$ y $$\begin{align}\int_1^2\frac{\sec^2(x)}{x^{3/2}}\,dx&\ge \frac{1}{2^{3/2}}\int_1^2 \sec^2(x)\,dx\\\\&=\frac{1}{2^{3/2}}\int_1^2\left(\frac{1}{(x-\pi/2)^2}+O(1)\right)\,dx \end{align}$$

donde la última integral diverge claramente por comparación.

Answer 2

a) Desde $\left|\sin(\cdot)\right|\leq 1$ la integral dada es absolutamente convergente y por la sustitución $x=\frac{1}{z}$ : $$ \int_{1}^{+\infty}\frac{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x^2}\,dx = \int_{0}^{1}\sin(\pi z)\,dz = \color{red}{\frac{2}{\pi}},$$ sic et simpliciter ;

b) La función $\frac{1}{x\sqrt{x}\cos^2(x)}$ tiene una singularidad no integrable (punto de bifurcación del $x^{-3/2}$ ) en una vecindad derecha del origen y un doble polo en $x=\frac{\pi}{2}$ por lo que no es integrable sobre $(0,2)$ por dos razones diferentes;

c) La función $\frac{x}{x^3+1}$ es integrable en $\mathbb{R}^+$ (ya que es positivo y $\leq\min(x,x^{-2})$ ) y $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x\,dx}{x^3+1}=\color{red}{\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}} $$ puede demostrarse de muchas maneras.