Publico esta respuesta para dar alguna intuición sobre lo que realmente ocurre entre bastidores en el teorema mencionado. Si $f:A\rightarrow B$ es plana, entonces obviamente la imagen de cualquier $A$ -secuencia regular bajo $f$ es un $B$ -secuencia regular. Esto puede verse tensando la $A$ -de Koszul en un $A$ -secuencia regular, por $B$ .
Ahora hagamos esta pregunta: Supongamos un mapa $f:A\rightarrow B$ tiene la propiedad de que asigna cualquier $A$ -a una secuencia $B$ -secuencia regular. Es $f$ ¿Plano entonces? La respuesta es no. Como ejemplo, se puede considerar el endomorfismo de Frobenius $F:A\rightarrow A$ de un anillo local de característica $p>0$ . Obviamente, mapea cada secuencia regular a una secuencia regular, pero $F$ no es plana, a menos que $A$ es regular, por un teorema de Kunz. Otro ejemplo es cualquier endomorfismo $f$ de un anillo local de Cohen-Macaulay $(A,\mathfrak{m}_A)$ para lo cual $f(\mathfrak{m}_A)A$ es $\mathfrak{m}_A$ -principal. Se puede ver rápidamente que la imagen de cualquier sucesión regular es una sucesión regular, pero en general $f$ no tiene por qué ser plana.
La razón de este fracaso es la existencia de módulos de dimensión proyectiva infinita. La condición de que $f$ envía cualquier secuencia regular a una secuencia regular sólo garantiza que las resoluciones libres finitas de $A$ -siguen siendo exactos después de tensar por $B$ . Esto se deduce rápidamente del criterio de exactitud de Buhsbaum-Eisenbud. (cf. p. 37, Corolario 6.6 en Temas de teoría homológica de módulos sobre anillos conmutativos M. Hochster).
En $A$ es regular, sin embargo, toda $A$ -el módulo tiene finito dimensión proyectiva. Por eso en este caso la condición de que cada $A$ -secuencia regular se asignará a un $B$ secuencia regular por $f$ es equivalente a la planitud. (téngase en cuenta que la planitud sólo debe comprobarse en módulos finitos.) Las condiciones $B$ Cohen-Macaulay y $\dim B=\dim A+\dim F$ sólo pretenden garantizar que cualquier $A$ -secuencia regular se asigna a una $B$ -secuencia regular, como se puede comprobar rápidamente. Para comprobarlo, tome una $A$ -secuencia regular $x_1,\ldots,x_t$ ampliarlo a un máximo secuencia regular $\underline{x}:=(x_1,\ldots,x_d)$ en $A$ y luego utilizar la hipótesis de dimensión y el hecho de que $B$ es Cohen-Macaulat para demostrar que $f(\underline{x}):=(f(x_1),\ldots,f(x_d))$ es una secuencia regular en $B$ .
(Obsérvese que, por un lado, la inclusión $f(\underline{x})B\subseteq\mathfrak{m}_AB$ da $\dim B/f(\underline{x})B\geq\dim B/\mathfrak{m}_AB$ . Por otra parte, el mapa $A/\underline{x}\rightarrow B/f(\underline{x})B$ da $\dim B/f(\underline{x})B\leq \dim A/\underline{x}+\dim B/\mathfrak{m}_AB=0+\dim B/\mathfrak{m}_AB$ . Por lo tanto $\dim B/f(\underline{x})B=\dim B-\dim A$ .)
