Es el complejo de Rham en la característica $p$ ¿una CDGA?

Question

En el artículo de Bhatt y Scholze sobre cohomología prismática ( https://arxiv.org/pdf/1905.08229.pdf ), se afirma que el teorema de comparación de de Rham para la cohomología prismática puede elevarse a una equivalencia de cdga's. Esto me confunde, porque no veo por qué el complejo de de Rham de un esquema propio y suave sobre un campo k de característica p que no es afín es un cdga. Me parece que podría ser un $E_\infty$ que no es estrictamente conmutativa. Así que estoy preguntando:

Es cierto que para un esquema propio y suave X sobre un campo k de característica $p$ las secciones globales del complejo de Rham $R\Gamma(X,DR_X)$ que es a priori un $E_\infty$ álgebra en el $\infty$ -categoría de $k$ -surge de un álgebra diferencial conmutativa graduada $k$ -¿espacios vectoriales? Obsérvese que esto impone muchas restricciones al complejo, concretamente la desaparición de la mayoría de las potencias reducidas de Steenrod en su cohomología.

Si es un cdga, ¿por qué es el caso?, o, alternativamente, si no es el caso, ¿qué echo de menos en la versión prismática de la comparación de de Rham expuesta en este trabajo?

Answer 1

Para un esquema fluido y adecuado $X$ sobre un campo $k$ de característica $p$ El $E_\infty$ -álgebra $R\Gamma(X, DR_{X/k})$ en $k$ no está representado por un $k$ -cdga. De hecho, si lo fuera, entonces la mayoría de las operaciones de Steenrod en sus grupos de cohomología tendrían que desaparecer, lo que simplemente no es cierto. Se obtiene un contraejemplo como en el primer artículo de Bhatt-Morrow-Scholze (BMS1) aproximando $B(\mathbf{Z}/p)$ por suave adecuada $k$ -ya que las operaciones Steenrod son distintas de cero en $H^*_{DR}(B(\mathbf{Z}/p))$ (no es más que la cohomología singular de $B(\mathbf{Z}/p)$ con $k$ -coeficientes).

Sospecho que la frase "puede actualizarse de forma natural a un isomorfismo de álgebras graduales diferenciales conmutativas" en el teorema 1.8 (3) del artículo citado debería interpretarse a nivel de láminas. Por ejemplo, la demostración de 15.4 en el mismo artículo parece sugerir implícitamente lo siguiente:

Teorema: Fijar un prisma $(A,I)$ y un esquema formal suave $X/(A/I)$ . Existe una identificación natural $$\varphi_A^* \Delta_{X/A} \simeq L\eta_I \Delta_{X/A}$$ de gavillas de $E_\infty$ - $A$ -algebras. Por el lema de Bockstein (6.12 en BMS1), el haz de $E_\infty$ - $A/I$ -algebras $(\varphi_A^* \Delta_{X/A}) \otimes_A A/I$ está representada por la gavilla de cdgas $H^*(\Delta_{X/A}/I)$ que se identifica naturalmente con el complejo de Rham $\Omega^*_{X/(A/I)}$ como una gavilla de cdgas.