¿Qué procesos podrían generar datos o parámetros con distribución de Laplace (doble exponencial)?

Question

Muchas distribuciones tienen "mitos de origen", o ejemplos de procesos físicos que describen bien:

• Se pueden obtener datos con distribución normal a partir de sumas de errores no correlacionados mediante el Teorema Central del Límite
• Se pueden obtener datos con distribución binomial a partir de lanzamientos de monedas independientes, o variables con distribución de Poisson a partir de un límite de ese proceso
• Se pueden obtener datos distribuidos exponencialmente a partir de los tiempos de espera bajo una tasa de decaimiento constante.

Y así sucesivamente.

Pero ¿qué pasa con el Distribución de Laplace ? Es útil para la regularización L1 y Regresión LAD pero me resulta difícil pensar en una situación en la que uno deba esperar verla en la naturaleza. La difusión sería gaussiana, y todos los ejemplos que se me ocurren con distribuciones exponenciales (por ejemplo, los tiempos de espera) implican valores no negativos.

Answer 1

Al final de la página de Wikipedia que has enlazado hay algunos ejemplos:

• Si $X_1$ y $X_2$ son distribuciones exponenciales IID, $X_1 - X_2$ tiene una distribución de Laplace.

• Si $X_1, X_2, X_3, X_4$ son distribuciones normales estándar IID, $X_1X_4 - X_2X_3$ tiene una distribución estándar de Laplace. Por lo tanto, el determinante de un azar $2\times 2$ matriz con entradas normales estándar IID $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix} $ tiene una distribución de Laplace.

• Si $X_1, X_2$ son uniformes IID en $[0,1]$ entonces $\log \frac{X_1}{X_2}$ tiene una distribución estándar de Laplace.

Answer 2

Defina una distribución geométrica compuesta como la suma de $N_p$ variables aleatorias iid $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ , donde $N_p$ se distribuye como una distribución geométrica con parámetro $p$ . Supongamos que las variables aleatorias iid $X_i$ tienen una media finita $\mu$ y la varianza $v$ .

Gnedenko demostró que en el límite $p\to 0$ la distribución geométrica compuesta se aproxima a una distribución de Laplace.

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

La densidad del $Laplace(a,b)$ es $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

B.V Gnedenko, Limit theorems for Sums of random number of positive independent random variables, Proc. 6th Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537-549, 1970.