Demostrar que el número de formas $mn$ los distintos objetos pueden dividirse en $m$ grupos de $n$ objetos es $\frac{1}{m!} \cdot \frac{(mn)!}{(n!)^m}$

Question

¿Puede explicar cómo se derivan estos dos teoremas?

El número de formas en que $mn$ diferentes objetos pueden dividirse igualmente en $m$ cada grupo contiene $n$ objetos y el orden de los grupos no es importante es

$$\left[\frac{(mn)!}{(n!)^m}\right] \cdot \frac{1}{m!}$$

También, por favor, explique cómo derivar una fórmula cuando el orden ES importante.

He intentado razonarlo de la siguiente manera, ¿es correcto? Cuando $mn$ cosas diferentes se dividen a partes iguales en $n$ grupos , cada uno de los cuales contiene $n$ objetos, entonces el número de objetos de un grupo concreto es idéntico y, por tanto, el número de permutaciones disminuye en un factor de $n!n!n!.....(m times)$ ya que hay $m$ grupos. El número de permutaciones disminuye además en $m!$ porque los grupos no están ordenados y distribuyendo el primer grupo de $n$ cosas a una persona es lo mismo que distribuir otro grupo de $n$ cosas . Por lo tanto dividimos por el número de grupos , es decir $m$ . Por favor, corrijan mi razonamiento.

Answer 1

Cuando el orden no es importante, el número de permutaciones de $mn$ objetos diferentes es $(mn)!$ pero tenemos que tenerlos en $m$ grupos con tamaño $n$ cada uno, por lo que tenemos que dividir por permutaciones del $m$ grupos y el $n$ bolas en cada grupo, es decir $m!(n!)(n!)... (n!)$ Condiciones $n!$ ocurren $m$ veces, por lo que obtenemos la fórmula requerida

Si el orden es importante, multiplique la fórmula anterior por $(n!)^m$ como ahora el orden de las bolas en cada grupo es importante, el orden de los grupos sigue sin serlo.