Intuición detrás de la ecuación diferencial para oscilaciones forzadas

Question

La ecuación diferencial para la oscilación forzada es: $$m \ddot{x} + b\dot{x}+kx = F_{o}\sin(\omega''t)$$ No encuentro esta ecuación intuitivamente satisfactoria. Mi mente tiende a pensar que como $F_{o}\sin(\omega''t)$ es la fuerza restauradora, debe ser igual a la fuerza de amortiguación $b\dot{x}$ . Sin embargo, eso no es cierto (y lo sé, un poco mecánicamente).

Si $m\ddot{x}$ es la fuerza total sobre el cuerpo oscilante, entonces por qué está en la ecuación que equivale sólo a la fuerza restauradora. ¿Por qué la $kx$ ¿término allí? ¿Qué sentido tiene el signo de esos términos?

Sé que parezco perdido, y tal vez tonto, pero realmente no me siento intuitivamente bien con esta ecuación.

Answer 1

Es mejor escribir la ecuación diferencial para oscilaciones forzadas de una forma diferente que la haga más relacionable con la segunda ley de Newton:

$$m\ddot{x}=F_0\sin{(\omega''t)}-b\dot{x}-kx$$

Ahora podemos descomponer esta ecuación término por término.

$kx$ se refiere a la fuerza restauradora típica del movimiento armónico simple dada por la ley de Hooke, donde $k$ es una constante de fuerza positiva que representa la magnitud de la fuerza restauradora. El signo del término es negativo porque la dirección de la fuerza está orientada hacia $x=0$ la posición de equilibrio del cuerpo oscilante.

$b\dot{x}$ se refiere a la fuerza de amortiguación del sistema oscilante donde $b$ es una constante positiva que representa la magnitud de la fuerza de amortiguación. Normalmente representa la fricción de alguna otra fuerza interna que desvía la energía cinética del sistema para convertirla en calor. El signo de este término es negativo porque la dirección de la fuerza se opone a la dirección de la oscilación, de forma similar a como la fricción tiende a ralentizar algo al estar dirigida en sentido opuesto a su velocidad.

$F_o\sin{(\omega''t)}$ se refiere a la fuerza motriz del sistema. Suele representar algún tipo de aparato externo unido a nuestro sistema oscilante (como un pistón o una fuente de alimentación de CA) que obliga al sistema a seguir oscilando en lugar de perder toda su energía en la fuerza de amortiguación descrita anteriormente. El signo de este término no importa realmente, ya que la fuerza impulsora oscila entre $F_o$ y $-F_o$ debido a la función seno.

Espero que todo esto tenga sentido, ¿ayuda a aclarar las cosas?