En la solución a esta cuestión al intentar demostrar por contradicción afirma que si suponemos $|x(t)|\nrightarrow \infty $ entonces $M:=$ lim inf $_{t\uparrow b}|x(t)|$
¿Por qué no puedo utilizar el hecho de que $|x(t)|\leq M$ comme $t \uparrow b$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Porque una función puede no converger a $+\infty$ en $b$ Y ser ilimitada en cada vecindad de $b$ .
Por ejemplo, supongamos que $b=0$ y considerar la función definida, para cada $t\ne0$ por $$x(t)=\frac2t\,\sin\left(\frac\pi t\right).$$ Entonces, para cada $n\geqslant0$ , $$x\left(\frac1{n+1}\right)=0,\qquad x\left(\frac2{4n+1}\right)=4n+1,$$ por lo que la función $|x|$ no converge a $+\infty$ en $0$ ni está limitada en una vecindad de $0$ .
