Definición abstracta de espacio tangente

Question

He estado aprendiendo algo de análisis introductorio sobre variedades y he tenido un pequeño problema desde que se introdujo la noción de espacios tangentes en puntos de una variedad diferenciable.

En nuestras clases, empezamos con la definición utilizando clases de equivalencia de curvas. Pero también es posible definir espacios tangentes utilizando derivaciones de funciones suaves (y aparentemente también de otras maneras, pero por ahora sólo estoy familiarizado con estas dos).

Parece intuitivamente sensato llamar a estas dos imágenes (la de la curva y la de la derivada) "equivalentes": sea el punto de interés $p$ y elija un gráfico local $\phi$ . Entonces formamos un cociente del conjunto de curvas a través de $p$ (parametrizado de forma que $p=\gamma(0)$ ), declarando $\gamma_1\sim\gamma_2$ si $(\phi\,\circ\,\gamma_1)'(0)=(\phi\,\circ\,\gamma_2)'(0)$ . Esta es una versión particular de un espacio tangente a $p$ . Pero también podríamos definirlo como el espacio de las derivaciones, es decir, mapas lineales de $C^\infty(M)$ a $\mathbb{R}$ que cumple la regla de Leibnitz $$D(fg)=D(f)g(p)+f(p)D(g)$$ Para cualquier clase de equivalencia de curvas $[\gamma]$ en $p$ el operador definido en $C^\infty(M)$ por $$ D_{[\gamma]}(f)=(f\circ\gamma)'(0) $$ es una derivación; a la inversa, es cierto que toda derivación es tal derivada direccional (prueba: Equivalencia de las definiciones de espacio tangente ).

La mayor parte de esto una recapitulación de una parte de Wikipedia . En cualquier caso, ambas nociones parecen dar en cierto sentido "los mismos" espacios tangentes.

Éste es mi problema: en realidad no entiendo qué es exactamente lo que estamos comprobando cuando intentamos decidir si algunas dos definiciones son equivalentes; ahora mismo, todo lo que yo personalmente intentaría hacer es mostrar el isomorfismo de los espacios vectoriales y luego intentar convencerme de que este isomorfismo respeta alguna noción vaga de dirección. Pero entonces $\mathbb{R}^{\mathrm{dim}(M)}$ es ciertamente isomorfo a cualquier espacio tangente de la variedad $M$ al menos como espacio vectorial. No obstante, basta con declarar $T_pM=\mathbb{R}^{\mathrm{dim}(M)}$ no me parece una construcción exitosa de un espacio tangente.

Ahora bien, mi pregunta tiene dos niveles, ordenados por "grado de abstracción", por así decirlo (es de suponer que también son más difíciles de responder). Sin embargo, creo que están relacionados.

En primer lugar, ¿existe alguna noción precisa de isomorfismos de espacios vectoriales que respeten la dirección en una variedad? En concreto, ¿es $\mathbb{R}^{\mathrm{dim}(M)}$ ¿es un espacio tangente válido o no, o quizás tengo que especificar alguna estructura adicional en él y luego comprobar que la estructura adicional se relaciona con, digamos, la definición de curva de forma correcta? (Supongo que este último caso requeriría tomar una definición del espacio tangente como fundamento absoluto y comparar todas las demás con ella, lo cual me parece un tanto insatisfactorio).

En segundo lugar, ¿existe acaso una definición abstracta y "externa" de un espacio tangente? Podría ser algo así como: "Dada una variedad lisa $M$ un punto $p\in M$ y un espacio vectorial $V$ este espacio vectorial se denomina espacio tangente a $p$ si cumple algunas propiedades $X,Y,Z...$ " donde estos $X,Y,Z$ no dependen del tipo de objetos en $V$ u otros detalles particulares específicos de $V$ .

La motivación para preguntar esto está relacionada con la situación de los pares ordenados de objetos (sí, esto es todo un salto): Puedo utilizar la definición de Kuratowski o infinitas otras, y en cada caso, podré convencerme de que, efectivamente, esta cosa que tengo ante mí funciona tan bien para codificar la "ordenación" de los objetos como cualquier otra. Pero no tengo por qué seguir refiriéndome a uno de estos casos concretos, sólo necesito describir cómo deben surgir y comportarse los pares en general: existe una función de dos lugares $f$ que envía dos objetos $x$ y $y$ a $(x,y)$ y hay dos proyecciones $\pi_1,\pi_2$ que tiran $x$ y $y$ atrás. (Para una definición precisa, véase este PDF A partir de ahí resumí el debate. Continúa definiendo los productos también dentro de la teoría de categorías). Además, me parecería muy sospechoso que algún teorema sobre pares ordenados se refiriera a las particularidades de la definición de Kuratowski -toda la información relevante sobre $(x,y)$ debería poder recuperarse sólo con la configuración abstracta descrita anteriormente (o mejor aún, en el PDF enlazado). ¿Hay alguna forma de tratar los espacios tangentes con este mismo espíritu?

Sé que esta pregunta es vaga, pero sinceramente no sé cómo formularla mejor, espero al menos haber transmitido la mentalidad aunque sólo sea eso.

Answer 1

1) El espacio tangente $T_p M$ es un espacio vectorial y, como has señalado, dos espacios vectoriales cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos. Hay dos cuestiones que hacen que las definiciones del post no sean triviales. Primero, que el isomorfismo no es canónico; depende de (por ejemplo) una elección de base. Segundo, y más importante, la noción correcta aquí es la de la tangente paquete frente a la tangente espacio . Es decir, el haz tangente $TM$ es un espacio junto con una proyección (continua) $\pi:TM \to M$ tal que cada punto $p\in M$ tiene un barrio $U$ por encima del cual $\pi$ es sólo la proyección $U \times \mathbb{R}^n \to U$ para un $n$ . En este caso, $TM$ es la colección de los $T_p M$ para $p\in M$ topologizado de una manera determinada.

2) No hay nada inherentemente malo en tener muchas definiciones equivalentes del espacio tangente; considere todas las diferentes definiciones de una derivada ordinaria. En última instancia, todas estas definiciones se reducen al hecho de que un espacio tangente se define localmente (es decir, $T_p M$ sólo depende de una vecindad de $p$ ), y los puntos de los manifolds tienen vecindades homeomórficas (en cualquier categoría que estemos considerando, y presumiblemente al menos $C^1$ aquí) a $\mathbb{R}^n$ . En $\mathbb{R}^n$ la idea de un espacio tangente es simple: es simplemente $\mathbb{R}^n$ mismo. Las distintas definiciones son sólo formas de convertir esa idea en algo que no dependa de elecciones explícitas de gráficos locales. Para motivarnos, podemos considerar el caso en que $M$ se inserta suavemente en algún $\mathbb{R}^n$ . (Por el teorema de incrustación de Whitney, se trata de una suposición trivial, al menos si asumimos una segunda contabilidad. El truco está en dar con una definición que sea independiente de esa incrustación).

3) En cuanto a una definición abstracta o externa, defina el espacio cotangente $T_p^* M$ sea el cociente $I/I^2$ donde $I$ es el espacio de mapas suaves $f:M \to \mathbb{R}$ que desaparecen en $p$ . (Probablemente sería más limpio trabajar con la gavilla de funciones suaves definidas en una vecindad de $p$ pero podemos reducirlo al caso anterior mediante una función de protuberancia adecuada). La tangente es entonces el dual de $T_p^* M$ pero $T_p^* M$ es útil, por ejemplo, para definir formas diferenciales.

Más allá de eso, parece que la abstracción que buscas (aunque, por desgracia, no es especialmente teórica) es la de un haz vectorial o, de forma más abstracta, un haz de fibras general. La definición completa está en (por ejemplo) wikipedia, pero la idea es la misma que la de la parte (1) anterior: Un haz con fibra $F$ sobre un múltiple $M$ es un espacio $E$ junto con una suryección continua $\pi:E \to M$ que localmente se parece a la proyección $U \times F \to U$ en la primera coordenada. La banda de Moebius, por ejemplo, es un $[0, 1]$ -bundle sobre el círculo: Sólo parece $[0, 1] \times U$ alrededor de un pequeño barrio $U$ de un punto en el círculo central, pero todo el espacio no es sólo $[0, 1]\times S^1$ .

Esto resulta ser una idea extraordinariamente útil, y conduce a ideas extremadamente productivas sobre secuencias exactas en topología algebraica, clases características, espacios clasificatorios, etcétera.