Tengo un problema para probar el siguiente resultado:
Sea $\left(S_{n}\right)_{n \geq 0}$ sea un paseo aleatorio simple definido por $p(1)=p$ y $p(-1)=q$ donde $p+q=1$ Sea $k$ sea un número entero positivo.
Demuéstralo:
$$ P_{0}\left(T_{0}^{\prime}=2 k \mid S_{2 k}=0\right)=\frac{1}{2 k-1} $$ donde $T_{0}^{\prime}=\inf \left\{n \geq 1: S_{n}=0\right\}$ .
Esto es lo que he hecho hasta ahora:
Usando la definición de probabilidad condicional, encontré que:
$$P_{0}\left(T_{0}^{\prime}=2 k \mid S_{2 k}=0\right)= \frac{P_{0}(T_{0}^{\prime}=2 k, S_{2 k}=0)}{P_{0}(S_{2 k}=0)}$$
$P_{0}(T_{0}^{\prime}=2 k, S_{2 k}=0)$ significa que $S_{2k}$ es la primera vez que llega a cero. Por lo tanto, utilizando números catalanes, esto es lo mismo que $$ P_{0}\left(S_{1}>0, \ldots, S_{2 k-1}>0, S_{2 k}=0\right)=\frac{1}{2 k-1}\left(\begin{array}{c} 2 k-1 \\ k-1 \end{array}\right) p^{k} q^{k} $$
Y $P_{0}(S_{2 k})=0$ es $(\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}) p^{k} q^{k}$ . Así:
$$\frac{P_{0}(T_{0}^{\prime}=2 k, S_{2 k}=0)}{P_{0}(S_{2 k}=0)} = \frac{ \frac{1}{2 k-1}\left(\begin{array}{c} 2 k-1 \\ k-1 \end{array}\right) p^{k} q^{k} }{ \left(\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}\right) p^{k} q^{k}}= \frac{1}{2 k-1} * \frac{1}{2} $$
Lo que está mal como se supone que debo conseguir $$ \frac{1}{2 k-1} $$
Estaré muy agradecida por cualquier ayuda.
