¿Por qué la ODE $xy''+y'+xy=0$ ¿requieren una sola condición inicial?

Question

Para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes de la forma $$ay''+by'+cy=0$$ necesitamos dos condiciones iniciales, por ejemplo $y(0)=1$ y $y'(0)=2$ .

Sin embargo, acabo de cruzar la siguiente ecuación diferencial con coeficientes variables: $$xy''+y'+xy=0 \\y(0)=1$$ conocida como ecuación de Bessel, que puede resolverse mediante series de potencias para obtener la solución $$y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{4^n(n!)^2}x^{2n}.$$ ¿Por qué esta ecuación sólo requiere una condición inicial? ¿Es porque no es con coeficientes constantes?

Answer 1

Enchufar $x=0$ en la ecuación da $y'(0)=0$ por lo que la segunda condición inicial se deduce de la ecuación.

Answer 2

Esta ODE $$xy''+y'+xy=0$$ es invariante bajo $x\to -x$ por lo que puede tener dos linealmente independientes de paridad definida. Éstas son $J_0(x)$ y $Y_0(x)$ el primero es par pero el segundo se define sólo para $x>0$ y $Y_0(0)=-\infty$ Así que no puede tener solución impar prity. Este aspecto está cubierto por el hecho de que esta EDO tiene ambas raíces indiciales como zrto. Compruébelo poniendo $y=x^m$ entonces iguala el coeficiente de la potencia lowes que gwt $m^2=0$ . Cuando esto ocurre una solución tiene singularidad logarítmica. Se ha encontrado $J_0(x)$ como solución.

La solución general de la EDO puede escribirse como $$y(x)=C_1 J_0(x)+ C_2 Y_0(x)$$ Dos condiciones cualesquiera distintas de $x=0$ puede determinar $C_1$ y $C_2$ por ejemplo $y(a)=c, y(b)=d.$