Supongamos que $f:X \to Y$ es una función de conjuntos. Entonces podemos tomar el cociente $X/\text{~}$ identificando $x \text{~} y$ sólo si $f(x)=f(y)$ . Supongamos ahora que $f:X \to Y$ es un mapa de conjuntos simpliciales. Quiero emular esto homotópicamente, añadiendo un 1-simplex entre $x$ y $y$ si existe un 1-símplex a partir de $f(x)$ a $f(y)$ (y análogamente en símplos superiores). Esto es probablemente más claro si se piensa en $X$ y $Y$ como infinito groupoids (como de hecho tengo en mente). Quiero una forma de "hacer equivalentes los tipos si son equivalentes después de aplicar f". Así, si $X$ y $Y$ son Kan, añadir un símplex 1 entre dos símplex 0 los hace "débilmente isomorfos" (que es lo correcto, no pegarlos sin más). ¿Existe alguna construcción estándar para mapas de conjuntos simpliciales (¿tal vez Kan?) que haga esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Pensaría que la construcción en cuestión es la coimagen de homotopía de $f$ (desgraciadamente se llama "coimagen" aunque se comporta como la imagen).
Primero se forma el nervio homotópico de Cech
$$ C(f) = \left( \cdots X \times_Y X \times_Y X \stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longrightarrow}{\longrightarrow}}X \times_Y X \stackrel{\longrightarrow}{\longrightarrow} X \right) $$
Este es el objeto groupoide interno que codifica el $\infty$ -sobre los elementos de $X$ " es equivalente en $Y$ "
Formación de su colímite homotópico
$$ coim(f) := \lim_{\to} C(f) $$
produce el cociente homotópico de $X$ por esta relación de equivalencia.
Por ejemplo $\mathbf{B}G$ el groupoide de un objeto de un grupo $G$ y $* \to \mathbf{B}G$ la inclusión puntual. Se quiere ver que la imagen homotópica de la inclusión puntual $* \to \mathbf{B}G$ no es sólo el punto, sino que es $*//G$ es decir $\mathbf{B}G$ mismo, porque hay $G$ de maneras para que el punto sea equivalente a sí mismo tras su inclusión en $\mathbf{B}G$ .
Así que se calcula el nervio homotópico de Cech y se encuentra el conocido
$$ C(* \to \mathbf{B}G) = \left( \cdots G \times G \times G \stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longrightarrow}{\longrightarrow}}} G\times G \stackrel{\longrightarrow}{\stackrel{\longrightarrow}{\longrightarrow}} G \stackrel{\longrightarrow}{\longrightarrow} \ast \right) $$
pero ahora considerado como un objeto simplicial en $\infty Grpd$ . Este es el diagrama que codifica la acción de $G$ sobre el punto. Su colímite homotópico es, en efecto, de nuevo $\mathbf{B}G$ por lo que encontramos
$$ coim(* \to \mathbf{B}G) = \mathbf{B}G $$
Que esto salga así es un ejemplo de los axiomas de Giraud en funcionamiento, ya que $\infty Grpd$ resulta ser un $\infty$ -topos: esto implica que cada $\infty$ -groupoide objeto (diagrama simplicial como arriba) en $\infty Grpd$ es eficaz .
Usted está buscando en el coequaliser del par de núcleos, por lo que mi conjetura sería tomar la homotopía pullback de $f$ a lo largo de sí mismo, entonces mira el nervio del groupoide $X\times_Y X \rightrightarrows X$ en $sSet$ esto da lugar, entonces forma la diagonal (=hocolim) de este conjunto bisimplicial. Supongo que esto viene con un mapa a $Y$ pero no lo he comprobado.
Esta respuesta es quizás una glosa de la de David. A menudo es útil sustituir la toma de un cociente por la formación de la relación de equivalencia como un groupoide. Así, la situación inicial que describes tiene la forma clásica equivalencia-relación-de-una-función. Esto funcionará en cualquier categoría con pullbacks, ya que es el pullback de f a lo largo de sí misma. En una situación de homotopía, como la que necesitas, el análogo será el pullback de homotopía de $f$ a lo largo de sí mismo.
Esto no forma el cociente como tal, pero es, sostengo, mejor (especialmente en presencia de estructuras diferenciales, por ejemplo). Corresponde a la idea que se esbozó en la pregunta, pero es functorial natural y, por tanto, menos engorroso (<- ¡término categórico técnico que significa 'menos engorroso'!). También va a dar resultados que no dependen de la clase de homotopía de $f$ y esto suele ser importante, sobre todo si se piensa que los conjuntos simpliciales son groupoides infinitos débiles o similares. Creo que hay extensiones a los cuasicomplejos, pero no tengo las fuentes conmigo para comprobarlo en este momento o para dar capítulo y versículo.
Esta construcción no sólo dice dos símplices en $Y$ hay que pensar que son lo mismo, pero registros POR QUÉ, y eso es importante.
(Edición: Gracias Tom. Debería haber dicho 'También va a dar resultados que sólo dependen de la clase de homotopía de $f$ ..')
Quizá le interese consultar la tesis de 1978 de Nick Ashley sobre "Simplicial $T$ -complejos y complejos cruzados: un nonabelian version of a theorem of Dold and Kan." disponible en Esquisses Math. 1978 en http://ehres.pagesperso-orange.fr/Cahiers/Ctgdc.htm
Considera un complejo Kan filtrado $K_* $ y una relación de homotopía natural para dar una fibración Kan $p: K_* \to \rho(K_* )$ donde $\rho(K_*)$ es un simplicial $T$ -complejo, es decir, una forma fuerte del complejo Kan con rellenos "finos" únicos. Las modificaciones de esto deben darle consrucciones estrictas de la clase que usted desea.
