Representación real

Question

Definir una representación $\rho$ de un grupo finito $G$ sobre un $\mathbb{C}$ -es real si el espacio admite una base cuya matriz $\rho(g)$ tiene coeficientes reales $\forall g \in G$ . Tengo que demostrar que para siempre $\rho$ es cierto que $\rho \otimes \rho^*$ es siempre real ( $\rho^*$ es la representación dual).

Creo que tengo una respuesta pero es bastante fea así que me gustaría saber si hay una solución inteligente a esta pregunta.

Answer 1

Sea $V$ sea un espacio vectorial complejo, digamos que un mapa $C:V \to V$ es una estructura real si es una involución conjugada-lineal, es decir, si $C^2=\mathrm{id}_V$ y $C(v+\lambda w)=C(v)+\overline{\lambda} C(w)$ para todos $v,w \in V, \lambda \in \Bbb C$ . En ese caso, decimos que $C$ es un $G$ -estructura real equivariante si $C$ es $G$ -equivariante.

Lema Si $V$ es una representación compleja de un grupo $G$ entonces existe una representación real (me refiero a una representación en un espacio vectorial real) $W$ de $G$ tal que $\Bbb C \otimes_{\Bbb R} W \cong V$ (lo que equivale a ser una representación real tal como se define en la pregunta) si $V$ admite una $G$ -estructura real equivariante.

Prueba Desde un punto de vista sofisticado, se trata de un caso de descenso de Galois, pero demos un argumento elemental. Si $\Bbb C \otimes_{\Bbb R} W \cong V$ entonces $C(z \otimes w)=\overline{z} \otimes w$ define un $G$ -estructura real equivariante. Supongamos que $C$ es un $G$ -estructura real equivariante en $V$ entonces $W:= \{v \in V \mid C(v)=v\}$ es un $G$ -estable $\Bbb R$ subespacio de $V$ y se obtiene un $\Bbb C$ -lineal $G$ -equivariante $\varphi:\Bbb C \otimes_{\Bbb R} W \to V, z\otimes w \to zw$ .
Para ver que se trata de un isomorfismo, observe que $V=W\oplus iW$ ya que podemos escribir $v=\frac{v+C(v)}{2}+i\frac{v-C(v)}{2i}$ con $\frac{v+C(v)}{2},\frac{v-C(v)}{2i} \in W$ y claramente $W \cap iW = \{0\}$ . También tiene $\Bbb C= \Bbb R \oplus i \Bbb R$ Así que $\Bbb C \otimes_{\Bbb R} W \cong W \oplus iW$ y el isomorfismo es compatible con esto. (Nota:Esto puede extenderse a una equivalencia de categorías adecuadas).

Para aplicar esto al problema, dejemos que $G$ sea un grupo finito y sea $\rho:G \to \mathrm{GL}(V)$ sea una representación compleja de dimensión finita, entonces elija a $G$ -producto escalar invariante $\langle -,- \rangle$ en $V$ esto define un $G$ -equivariante conjugado-lineal isomorfismo $\psi:V \to V^*$ dado por $v \mapsto \langle v,-\rangle$ (asumiendo la convención de que el producto interior es lineal en el segundo argumento)

Consideremos ahora el mapa $C:V \otimes_{\Bbb C} V^*\to V \otimes_{\Bbb C}V^*, v\otimes \xi \mapsto \psi^{-1}(\xi) \otimes \psi(v)$ , $C^2= \mathrm{id}$ y $C$ es conjugado-lineal y $G$ -equivariante, así que por el lema, $\rho \otimes \rho^*$ es real.