Leí hace un par de días sobre la conjetura de Collatz. Teniendo en cuenta que este problema existe desde los años 30, supongo que mi idea escrita a continuación tiene algunos problemas. No obstante, quiero saber si me parece un buen planteamiento: intentar analizar cómo crece la secuencia de Collatz.
Supongamos que tenemos un número inicial (obviamente, el número inicial debe ser grande) con una secuencia de Collatz que no decae finalmente a $1$ . De ello se deduce que la secuencia es infinita. Supongamos además que no hay ciclos infinitos alejados del ciclo que lleva a $1$ : $4,2,1,4,2,1,...$ . Entonces, para tal valor inicial, debería ser cierto que su secuencia de Collatz diverge a $\infty$ .
La media geométrica de una secuencia de Collatz final de un número $m$ puede escribirse como $$\mu = m\sqrt[n](\prod_{i=1}^{n-1} a_i)$$ donde hay $n$ términos de la sucesión de Collatz, y el $a_i$ s son los términos de la secuencia con $a_{n-1} = 1$ . Supongamos $m$ es el valor inicial de una secuencia de Collatz infinita y divergente. Podemos definir el $n^{th}$ media geométrica de la secuencia divergente sea $$\mu_n = m\sqrt[n](\prod_{i=1}^{n-1} a_i)$$ con $a_{n-1} \neq 1$ . Si la secuencia diverge, debe ser cierto que su $n^{th}$ la media geométrica también diverge. En particular, debería existir una $n$ tal que $$m\sqrt[n](\prod_{i=1}^{n-1} a_i) > m'$$ donde $m'<m$ es un límite inferior de la secuencia, pero también grande. Obsérvese que si el término $a_k$ es impar, entonces $a_{k+1} = 3a_k+1 \implies \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{3a_k+1}{a_k}$ . En el límite que $a_k \rightarrow \infty$ , $\frac{3a_k+1}{a_k} \rightarrow 3$ . Para $a_k$ incluso, $\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{1}{2}$ .
Ahora, para el $n^{th}$ secuencia de Collatz, tendremos una relación $p$ de la $n$ términos que son impar, y el resto par. El número de términos impar, excluido el valor inicial $m$ es aproximadamente $(n-1)p$ porque $n$ es grande, y el número de términos pares es aproximadamente $(n-1)(1-p)$ . Así, en el límite que $n$ es grande, el $n^{th}$ la media geométrica puede aproximarse mediante $$\mu_n \approx m\sqrt[n]((3)^{(n-1)p}(\frac{1}{2})^{(n-1)(1-p)}) > m'$$ porque multiplicaremos por aproximadamente $3$ $(n-1)p$ veces, y multiplicaremos por $\frac{1}{2}$ $(n-1)(1-p)$ veces.
Ahora bien, es evidente que para toda sucesión de Collatz, la proporción de términos que son impar es inferior a $\frac{1}{2}$ . Esto se debe a que, dado el término impar $a_k = 2n+1$ , $a_{k+1} = 6n+4$ que es par, lo que significa que no podemos tener dos términos Impares consecutivos. Si hacemos un poco de álgebra para simplificar la expresión anterior para $\mu_n$ encontramos que $$\frac{1}{2} > p > \frac{(\frac{m'}{m})^n}{(n-1)\log(6)} + \frac{\log(2)}{\log(6)}$$ .
Porque podemos tomar $n>>m$ y $n>>m'$ esta expresión puede aproximarse mediante $$\frac{1}{2} > p > \frac{\log(2)}{\log(6)}$$
Así, para la divergencia $p > 0.387$ aproximadamente. Por lo tanto, para una secuencia de Collatz divergente, un mínimo de aproximadamente $38\%$ de sus términos debe ser impar.
