Mínimo de $\cos^2(x) (\csc^2(\frac{\pi}{2n} - \frac{x}{n}) + \csc^2(\frac{\pi}{2n} + \frac{x}{n}))$ para $0 \leq x < \pi/2$ y $n \geq 3$

Question

Estoy tratando de probar que $x=0$ es el punto mínimo de la función $$f(x) = \cos^2(x)\left( \csc^2(x_+) + \csc^2(x_-) \right)$$ en el intervalo $0 \leq x < \pi/2$ donde $x_\pm = \frac\pi{2n} \pm \frac x n$ , y $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq 3$ .

He probado sin éxito los siguientes métodos.

1. Intentó demostrar que $f(x) - f(0) \geq 0$ es decir $$\cos^2(x)\left( \csc^2\left(\frac\pi{2n} - \frac x n\right) + \csc^2\left(\frac\pi{2n} + \frac x n\right) \right) - 2\csc^2\left(\frac\pi{2n}\right) \geq 0;$$
2. Computado $f'(x) = \frac\partial{\partial x} f(x)$ e intentó demostrar que $f'(x) \geq 0$ en el intervalo, donde \begin{align} \frac\partial{\partial x} f(x) = 2\cos^2(x) \left( \frac{1}{n} \cot(x_-)\csc^2(x_-) - \frac{1}{n} \cot(x_+)\csc^2(x_+) - \tan(x)\left(\csc^2(x_-) + \csc^2(x_+)\right) \right); \end{align}
3. Ampliación de la serie Taylor de segunda mano en $f(x)$ intentando encontrar un límite inferior ajustado para $f(x)$ .

Agradecería cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

Esbozo de una prueba :

Tenemos que demostrar que $f(x) \ge f(0) = 2\csc^2\frac{\pi}{2n}$ para todos $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ .

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Si $n = 3$ tenemos $$f(x) = - 16\left(\cos^2 \frac{x}{3} - \frac34\right)^2 + 9 \ge 8 = 2\csc^2 \frac{\pi}{6}$$ donde hemos utilizado $\frac{3}{4} \le \cos^2 \frac{x}{3} \le 1$ .

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A continuación, supongamos que $n \ge 4$ .

Tenemos $$f(x) = \cos^2 x \cdot \frac{2\cos\frac{\pi}{n}\sin^2 \frac{x}{n} + 2\sin^2 \frac{\pi}{2n}}{(\sin^2 \frac{\pi}{2n} - \sin^2 \frac{x}{n})^2}.$$

Dato 1 : $\sin \frac{x}{n} \ge \frac{2}{\pi} x \sin \frac{\pi}{2n}$ .

Dato 2 : $\cos^2 x \cdot \frac{4x^2\pi^2\cos \frac{\pi}{4} + \pi^4}{\left(\pi^2 - 4x^2 \right)^2} \ge 1$ .

Utilizando el hecho 1, tenemos \begin{align*} f(x) &\ge \cos^2 x \cdot \frac{2\cos\frac{\pi}{n}\cdot (\frac{2}{\pi} x \sin \frac{\pi}{2n})^2 + 2\sin^2 \frac{\pi}{2n}}{\left[\sin^2 \frac{\pi}{2n} - (\frac{2}{\pi} x \sin \frac{\pi}{2n} )^2\right]^2}\\[5pt] &= 2\csc^2\frac{\pi}{2n} \cdot \cos^2 x \cdot \frac{\frac{4x^2}{\pi^2}\cos\frac{\pi}{n} + 1}{\left(1 - \frac{4x^2}{\pi^2} \right)^2}\\[5pt] &\ge 2\csc^2\frac{\pi}{2n} \cdot \cos^2 x \cdot \frac{\frac{4x^2}{\pi^2}\cos \frac{\pi}{4} + 1}{\left(1 - \frac{4x^2}{\pi^2} \right)^2}\\[5pt] &\ge 2\csc^2\frac{\pi}{2n} \tag{1} \end{align*} donde hemos utilizado el Hecho 2 para obtener (1).

Hemos terminado.

Answer 2

Tratando de probar que $x=0$ corresponde a $\large \color{red}{a}$ punto mínimo no es tan difícil si se hace una expansión de Taylor de $$f_n(x)=\cos ^2(x) \left(\csc ^2\left(\frac{\pi -2 x}{2 n}\right)+\csc ^2\left(\frac{\pi+2 x }{2 n}\right)\right)$$ $$f_n(x)=2 \csc ^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)\Bigg[1+ \left(\frac{1+3 \cot ^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)}{n^2}-1\right)x^2+O\left(x^4\right) \Bigg]$$ Así, tenemos $$f_n(0)=2 \csc ^2\left(\frac{\pi }{2 n}\right)\qquad f'_n(0)=0\qquad f''_n(0)=\frac{2 \left(\left(n^2+2\right) \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+4-n^2\right) \csc ^4\left(\frac{\pi }{2 n}\right)}{n^2}$$ y $$f''_n(0) > 0 \qquad \text{ } \qquad \forall n \quad \geq 3$$