¿Por qué son tan valiosas las pruebas, aunque no sepamos si nuestro sistema de axiomas es coherente?

Question

Como persona que ha dedicado mucho tiempo a aprender matemáticas, tengo que admitir que a veces me resulta muy molesto el hecho descubierto por Godel: nunca podemos saber que nuestro sistema de axiomas es consistente. La consistencia de ZFC sólo puede demostrarse en un sistema mayor, cuya consistencia se desconoce.

Eso significa que las pruebas no son como yo solía creer: un certificado de que no se puede encontrar un contraejemplo para una afirmación. Por ejemplo, a pesar de la prueba de Wiles, es concebible que algún día a alguien se le ocurran números enteros a,b y c y n>2 tales que a^n + b^n = c^n, lo que significaría que nuestro sistema de axiomas resulta ser inconsistente.

Me gustaría conocer las razones por las que, a pesar del thoerem de Godel, los matemáticos (o usted) piensan que las pruebas siguen siendo muy valiosas. ¿Por qué se preocupan cada día menos por el teorema de Godel (edito: o lo hacen)?

También agradecería referencias escritas para no expertos que aborden esta cuestión.

Answer 1

Desviarse de la lógica matemática hacia cómo otros matemáticos podrían pensar sobre las pruebas...

Creo que muchos matemáticos van con Carl "convencernos de su consistencia por métodos que no son completamente formales". Muchos matemáticos utilizan la teoría de conjuntos simplemente como un lenguaje--probablemente el mismo tipo de matemáticos que no se preocupan demasiado por las categorías, de los cuales todavía hay muchos. Los matemáticos con inclinaciones físicas a menudo disfrutan con argumentos "informales" basados en la intuición física, una construcción mecánica o los argumentos no rigurosos de Arquímedes, Appolonius o Cavalieri, que utilizan una versión primitiva de los infinitesimales para calcular volúmenes, etc. Para muchos matemáticos, los conocimientos adquiridos con argumentos menos formales, aunque menos definitivos, probablemente superan a las preocupaciones sobre cuestiones de teoría de conjuntos y teoría de pruebas. (Un teórico de grafos, por ejemplo, podría ser perfectamente feliz demostrando resultados para clases de grafos y propiedades de grafos durante toda su carrera, sabiendo que los resultados son ciertos para grafos de la forma en que uno se los suele imaginar, sin preocuparse por la consistencia de ZFC).

Dado que su pregunta es en parte lógica matemática y en parte psicología (si la gente "se preocupa"), ¿puedo sugerirle algo de la literatura sobre pedagogía para matemáticas superiores? Mucha gente ha reflexionado mucho sobre cómo tratar el concepto de prueba y otras cuestiones en cursos para diversos tipos de estudiantes con el fin de maximizar la comprensión y el valor adquiridos. Véase, por ejemplo, el trabajo de David Henderson sobre "matemáticas educativas" en Cornell.

Answer 2

La mayoría de las matemáticas de utilidad práctica no necesitan la fuerza de una teoría como la ZFC. El programa de matemática inversa muestra que muchos teoremas notables pueden enunciarse en $RCA_0$ que es un sistema finitista. La mayoría de los demás sistemas estudiados en matemáticas de revés (como el $WKL_0$ , $ACA_0$ o $ATR_0$ ) son subsistemas de la aritmética de segundo orden, y también gozan de propiedades de conservatividad sobre $RCA_0$ .

Answer 3

No estoy seguro de por qué los teoremas de Gödel son relevantes aquí. De hecho, se desconoce si ZFC es consistente. En algún momento de la carrera se hace creer a los estudiantes que una demostración da una certeza absoluta. Más tarde aprenden que esto no es del todo cierto. La mayoría de los matemáticos en activo creen en la consistencia de ZFC, y nadie ha demostrado aún que estén equivocados. Hasta la fecha, las pruebas nos han servido muy bien.